Summen von Quadratzahlen 12. September 2007 Prof. Dr

Summen von Quadratzahlen
12. September 2007
Prof. Dr. Annette Huber-Klawitter
Universität Leipzig
1
0
1
4
9
16
25
36
49
64
81
100
1
1
2
4
4
5
8
9
9
10
13
18
16
16
17
20
25
32
25
25
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34
41
50
36
36
37
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45
52
61
72
49
49
50
53
58
65
74
85
98
64
64
65
68
73
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89
100
113
128
81
81
82
85
90
97
106
117
130
145
162
100
100
101
104
109
116
125
136
149
164
181
200
2
M die Menge der Zahlen, die Summe von zwei Quadratzahlen sind.
M =









































0,
16,
36,
58,
81,
104,
128,
164,
197,
1,
17,
37,
61,
82,
106,
130,
169,
200,
2,
18,
40,
64,
85,
109,
136,
170,
...
4,
20,
41,
65,
89,
113,
137,
173,
5,
25,
45,
68,
90,
116,
145,
178,
8,
26,
49,
72,
97,
117,
146,
181,
9,
29,
50,
73,
98,
121,
149,
185,
10,
32,
52,
74,
100,
122,
157,
194,
3
13,
34,
53,
80,
101,
125,
162,
196,









































Primzahlen
in M : 2, 5, 13, 17, 29, 41, 37, 53, 61, 73, 89, 97, . . .
nicht in M : 3, 7, 11, 19, 23, 31, 43, 47, 59, 71, 79, 83, 87, . . .
Zweiquadratesatz (Fermat 1659): Eine ungerade
Primzahl liegt in M genau dann, wenn sie den Rest
1 modulo 4 hat.
4
Beweis der Notwendigkeit
n mod 4
n2 mod 4
0
0
1
1
2
0
3
1
Daher kann n2 + m2 die Werte
0 + 0 = 0, 0 + 1 = 1, 1 + 1 = 2
mod 4
annehmen.
5
Eulers Produktformeln
(a2 + b2)(c2 + d2) = (ac − bd)2 + (ad + bd)2
Beispiel:
(32 + 22)(52 + 12) = (9 + 4)(1 + 25) = 13 · 26 = 338
(3 · 5 − 2 · 1)2 + (3 · 1 + 2 · 5)2 = 132 + 132 = 169 + 169 = 338
Folgerung: Die Menge der Zahlen, die Summe von zwei
Quadraten sind, ist unter Mulitiplikation abgeschlossen.
6
Zweiquadratesatz - der allgemeine Fall
k
k
Sei n = p11 p22 . . . pkmm die Primfaktorzerlegung.
Satz: n liegt in M genau dann, wenn ki gerade ist für
pi = 3 mod 4.
7
Vierquadratesatz
7 ist nicht Summe von drei Quadratzahlen. Aber:
Vierquadratesatz (Lagrange 1770): Jede natürlich Zahl
lässt sich als Summe von höchstens vier Quadratzahlen
schreiben.
7=4+1+1+1
27 = 16 + 9 + 1 + 1
Beweisidee:
• Produktformel für Summen von vier Quadraten
• Für Primzahlen ist die Aussage wahr modulo 8.
Literatur: W. Scharlau, H. Opolka, Von Fermat bis Minkowski, Springer Verlag 1980.
8
Die Anzahlformel
50 = 49 + 1 = 25 + 25 = 25 + 16 + 9 = . . .
Für n > 1 sei r(n) die Anzahl der Möglichkeiten, n als
Summe von vier Quadraten zu schreiben.
Beispiel: r(1) = 8, r(2) = 24
Der Satz von Jacobi (1828):
r(n) = 8
X
d
d|n,4∤d
Die rechte Seite ist positiv, also gilt der Vierquadratesatz!
9
Jacobis Beweisidee
ϑ(q) :=
X
2
q m = 1 + 2q 1 + 2q 4 + 2q 9 + . . .
m∈Z
Dann ist
ϑ(q)4 =
X
r(n)q n
n≥0
Für q = eπiz , z ∈ C, Imz > 0 ist ϑ(z) differenzierbar.


X X 
∗
g2(q) := 1 − 24
d q 2n

n≥1 d|n
Beh:
1
z
ϑ(z)4 = 3 4g2∗ (2z) − g2∗ ( 2 )
10
Das moderne Argument: Modulformen
Es gilt
ϑ4(z + 2) = ϑ4(z)
ϑ4(−z −1) = −z 2ϑ4(z)
D.h. ϑ4 ist eine Modulform vom Gewicht 2.
g2∗ (z + 1) = g2∗ (z)
g2∗ (−z −1) = z 2g2∗ (z)
1
z
∗
∗
D.h. 3 4g2(2z) − g2( 2 ) ist Modulform wie ϑ4.
Zwei Modulformen dieses Typs sind gleich, wenn die Koeffizienten von q 0, q 1, q 2 übereinstimmen.
Literatur: M. Koecher, A. Krieg, Elliptische Funktionen
und Modulformen, Springer Verlag 1998; Kapitel III §7 7.*
11