AEinführung in die Algebra - Mathematik@TU

A
Einführung in die Algebra
für M, MCS, LaG
Technische Universität Darmstadt
Fachbereich Mathematik
WS 2002/03
Prof. Dr. Klaus Keimel
Dr. (AUS) Werner Nickel
Christoph Müller
31. Januar/3. Februar 2003
Lösungen zu den Hausübungen Nr. 13
H AUS ÜBUNGEN
H51 Wir benutzen den Euklidischen Algorithmus fast wie bei den ganzen Zahlen, nur wählen wir jeweils
als Quotienten eine Zahl in Γ, die dem Quotienten in C möglichst nahe kommt, und berechnen jeweils
den Rest:
18−i
= (18−i)(11−7i)
= 192−137i
≈1−i
11+7i
112 +72
170
⇒ 18 − i = (1 − i)(11 + 7i) + 3i
(18−i)−(1−i)(11+7i)=(18−i)−(18−4i)=3i
11+7i
= 7−11i
≈ 2 − 4i
3i
3
⇒ 11 + 7i = (2 − 4i)(3i) − 1 + i
(2−4i)(3i)=(12+6i)
3i
= 3i(−1−i)
= 3−3i
≈1−i
−1+i
12 +12
2
⇒ 3i = (1 − i)(−1 + i) + i
(1−i)(−1+i)=2i
−1+i
i
= 1 + i ⇒ −1 + i = (1 + i)i + 0
Als letzter Rest ungleich Null erhalten wir i, also eine Einheit in Γ. Damit sind 18 − i und 11 + 7i
teilerfremd in Γ, und die Einheiten {1, −1, i, −i} sind die größten gemeinsamen Teiler.
H52
a) Aus p = a2 +b2 = c2 +d2 für natürliche Zahlen a, b, c, d folgt p = (a+bi)(a−bi) = (c+di)(c−di)
in Γ, wobei gemäß 3.3.17 (k) die Faktoren a ± bi und c ± di alle irreduzibel in Γ sind. Aus der
Eindeutigkeit der Primzerlegung in Γ folgt jetzt, dass a + bi assoziiert ist zu c + di oder c − di,
und das bedeutet insbesondere {a, b} = {c, d}. Damit handelt es sich bei p = a2 + b2 = c2 + d2
letztendlich um dieselben Darstellungen von p als Summe zweier Quadratzahlen.
b) Die Primfaktorzerlegungen in Γ sind beispielsweise:
10 = 2 · 5 = (1 + i)(1 − i)(1 + 2i)(1 − 2i)
21 = 3 · 7
35 = 5 · 7 = (1 + 2i)(1 − 2i) · 7
65 = 5 · 13 = (1 + 2i)(1 − 2i)(2 + 3i)(2 − 3i)
Es sind 10 = 9 + 1 und 65 = 64 + 1 = 49 + 16 Darstellungen dieser Zahlen als Summe zweier
Quadratzahlen, für die Zahlen 21 und 35 gibt es keine solchen. In c) begründen wir, dass das
tatsächlich alle Darstellungen sind.
c) Inspiriert durch b) wagen wir folgende Vermutung: Das Produkt pq zweier verschiedener Primzahlen p und q in Z ist genau dann darstellbar als Summe zweier Quadratzahlen, wenn p 6≡ 3 (mod 4)
und q 6≡ 3 (mod 4) gilt. Für p = 2 oder q = 2 gibt es dann genau eine solche Darstellung,
andernfalls genau zwei verschiedene.
,,⇒”: Angenommen, p ist eine Primzahl mit p ≡ 3 (mod 4), also insbesondere irreduzibel. Wäre
nun pq = a2 + b2 = (a + bi)(a − bi) die Summe zweier Quadratzahlen, so folgt p|a + bi oder
p = a − bi aus Hilfssatz 3.3.10. Dann teilt aber auch N (p) = p2 die Norm N (a ± bi) = a2 +
b2 = pq, und das bedeutet p = q im Widerspruch zur Voraussetzung. Damit ist die Bedingung
p 6≡ 3 (mod 4) notwendig für die Darstellbarkeit von pq als Summe von zwei Quadratzahlen, und
ebenso argumentiert man für q statt p.
,,⇐”: Gelten p 6≡ 3 (mod 4) und q 6≡ 3 (mod 4), so induzieren die Primfaktorzerlegungen von
p = (a + bi)(a − bi) und q = (c + di)(c − di) die Zerlegung pq = (a + bi)(a − bi)(c + di)(c − di)
des Produkts pq mit positiven ganzen Zahlen a, b, c, d. Durch Zusammenfassen je zweier Faktoren
erhält man Darstellungen von pq als Summe zweier Quadratzahlen:
pq = [(a + bi)(c + di)][(a − bi)(c − di)] = [ac − bd + i(bc + ad)][ac − bd − i(bc + ad)]
= (ac − bd)2 + (bc + ad)2
pq = [(a + bi)(c − di)][(a − bi)(c + di)] = [ac + bd + i(bc − ad)][ac + bd − i(bc − ad)]
= (ac + bd)2 + (bc − ad)2
Umgekehrt ergibt sich für jede Darstellung pq = x2 + y 2 als Summe zweier Quadratzahlen die
Gleichung
(a + bi)(a − bi)(c + di)(c − di) = pq = e2 + f 2 = (e + f i)(e − f i).
Da die Faktoren auf der linken Seite irreduzibel sind, teilen sie jeweils einen Faktor auf der rechten
Seite. Aus p = (a + bi)(a − bi)|e ± f i folgt wieder p2 |pq, wenn man die Normen betrachtet, also
ein Widerspruch. Demnach teilen a + bi und a − bi unterschiedliche Faktoren der rechten Seite,
und dasselbe gilt für c + di und c − di. Damit ist aber die Darstellung pq = e2 + f 2 eine der zwei
oben angegebenen.
Die beiden Darstellungen sind genau dann gleich, wenn
ac + bd = bc + ad ac + bd = bc + ad ac − bd = bc − ad oder ac − bd = ad − bc 2bd = 2ad 2bd = 2bc ⇔
2ac = 2bc oder 2ac = 2ad ⇔ a = b oder c = d.
Da die Paare a, b bzw. c, d jeweils teilerfremd sind, bedeutet das a = b = 1 oder c = d = 1, also
p = (a + bi)(a − bi) = (1 + i)(1 − i) = 2 oder q = 2. Das war noch zu zeigen.
H53 Wir bezeichnen mit πa : R → R/aR und πb : R → R/bR die Quotientenabbildungen, die zu den
Idealen aR und bR gehören. Die Abbildung
f = πa × πb : R → R/aR × R/bR,
x 7→ (πa (x), πb (x)) = (x + aR, x + bR)
ist dann ein surjektiver Homomorphismus von Ringen, da die Koordinatenfunktionen surjektive Homomorphismen von Ringen sind. Weil a und b teilerfremd sind, ist c = ab ein kleinstes gemeinsames
Vielfaches von a und b, und es gilt cR = aR ∩ bR = ker(f ). Nach dem Homomorphiesatz 3.2.11 folgt
R/aR × R/bR ∼
= R/ ker(f ) = R/cR, was zu zeigen war.
In G56 haben wir genau diese Situation vorliegen, und zwar mit R = Γ, a = 2 + i, b = 2 − i und c = 5.
Wählen wir in Γ/5Γ genau die Repräsentanten aus der dort angegebenen Skizze, so ,,sehen” wir direkt
den Isomorphismus
Γ/5Γ ∼
= Γ/(2 + i)Γ × Γ/(2 − i)Γ ∼
= Z5 × Z5 ,
und wir sehen auch, dass unsere Einheiten und Nullteiler richtig sind, weil für Z5 × Z5 gilt:
×
(Z5 × Z5 )× = Z×
5 × Z5 = {(x, y) ∈ Z5 × Z5 : x 6= 0 und y 6= 0},
Nullteiler in Z5 × Z5 = {(x, y) ∈ Z5 × Z5 : (x, y) 6= (0, 0) und (x = 0 oder y = 0)}.
H54 Der Beweis von a) und b) steht im wesentlichen im Skript in 3.3.17 (g)-(k), ist aber an einigen Stellen
etwas ungenau. Deswegen schreiben wir das hier nochmal auf.
Sei also π ∈ Γ irreduzibel. Dann ist auch π irreduzibel in Γ nach 3.3.17 (e), und q := ππ ist eine
positive ganze Zahl mit Primfaktorzerlegung ππ. Wir unterscheiden zwei Fälle:
• Ist q eine Primzahl in Z, so setzen wir p := q und stellen fest, dass wegen p = ππ insbesondere π
ein Teiler von p ist.
Teilt π eine beliebige Primzahl p0 ∈ Z, so gilt das auch für π gemäß G55 c). Daraus folgt p = ππ|p0 ,
und damit p0 = p wie in a) behauptet.
• Ist q keine Primzahl in Z, so gibt es Teiler m, n ∈ Z von q mit q = mn und 1 < m, n < q. Diese
haben Primfaktorzerlegungen m = m1 · · · mr und n = n1 · · · ns in Γ, und sie induzieren eine weitere Primfaktorzerlegung q = m1 · · · mr n1 · · · ns . Aus der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung
in Γ und aus m, n > 1 folgt nun aber r = s = 1 und o.B.d.A. m = m1 ∼ π und n = n1 ∼ π.
Insbesondere sind m und n Primzahlen, und weil sie die gleiche Norm N (π) = N (π) haben, sind
sie gleich: p := m = n. Auch hier ist π ein Teiler von p wegen π ∼ p, es gilt nämlich π = επ für
eine Einheit ε.
Teilt π eine beliebige Primzahl p0 ∈ Z, so gilt das auch für p = ε−1 π, und daraus folgt sofort
p = p0 . Damit ist auch in diesem Fall p eindeutig durch π bestimmt.
Damit haben wir a) und b) vollständig bewiesen, und wir betrachten jetzt c) und d):
c) Ist π = εp für eine Einheit ε, so gilt auch πΓ = pΓ. Für beliebige a, b, c, d ∈ Γ erhalten wir:
a ≡ c (mod p)
a + bi + pΓ = c + di + pΓ ⇔ (a − c) + (b − d)i ∈ pΓ ⇔ b ≡ d (mod p)
Damit erhalten wir folgendes Repräsentantensystem für Γ/πΓ:
Γ/πΓ = Γ/pΓ = {a + bi + πΓ : a, b ∈ {0, 1, . . . , p − 1}}
Insbesondere folgt |Γ/πΓ| = p2 , wie behauptet.
d) Angenommen, ππ = p mit einer Primzahl p ∈ Z. Wir behaupten, dass S = {0, 1, . . . , p − 1} ein
Repräsentantensystem für Γ/πΓ ist, also Γ/πΓ = {k + πΓ : k ∈ S} gilt mit verschiedenen k + πΓ
für verschiedene k ∈ S. Insbesondere folgt daraus |Γ/πΓ| = |S| = p.
Wir zeigen zunächst, dass es für eine beliebige Kongruenzklasse c + di + πΓ einen Repräsentanten
k ∈ Z gibt mit k + πΓ = c + di + πΓ. Ist nämlich π = a + bi, so sind a und b teilerfremd wegen
ggT(a, b)|a2 + b2 = p. Damit finden wir Zahlen x, y ∈ Z mit ay + bx = d, und es ergibt sich:
(a + bi)(x + iy) = (ax − by) + (ay + bx)i = ax − by + di ∈ πΓ
⇒ c + di + πΓ = c + di − (ax − by + di) + πΓ = c − ax + by +πΓ
|
{z
}
:=k∈Z
Für zwei Repräsentanten k, l ∈ Z ist k + πΓ = l + πΓ gleichbedeutend mit π|k − l bzw. nach
Aufgabe G55 c) zu π|k − l. Zusammengenommen ist das äquivalent zur Bedingung p = ππ|k − l,
also zu k ≡ l (mod p). Damit ist tatsächlich S ein Repräsentantensystem für Γ/πΓ.