Fachbereich Mathematik Prof. Dr. Wolfram Decker SS 2013

Fachbereich Mathematik
SS 2013
Prof. Dr. Wolfram Decker
Übungsblatt 04
Elementare Zahlentheorie Abgabetermin: Mittwoch, 05.06.2013, 10 Uhr
Aufgabe 13: Sei n ∈ N, n > 1. Zeigen Sie, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind:
(i) n und n + 2 bilden einen Primzahlzwilling, d.h. n und n + 2 sind Primzahlen.
(ii) 4((n − 1)! + 1) + n ≡ 0 mod n(n + 2).
Aufgabe 14:
(i) Bestimmen Sie Primitivwurzeln modulo m für m = 41, 49, 50.
(ii) Bestimmen Sie sämtliche Primitivwurzeln modulo 41.
Aufgabe 15: Sei n ∈ N r P eine ungerade Zahl ≥ 3. Dann heißt n eine Carmichael–Zahl, wenn f ür
alle zu n teilerfremden Zahlen a gilt
an−1 ≡ 1 mod n .
Zeigen Sie, dass n genau dann eine Carmichael–Zahl ist, wenn gilt:
(i) n ist quadratfrei, d.h. n enthält keinen mehrfachen Primfaktor.
(ii) Für jeden Primfaktor p von n gilt
p−1 | n−1 .
Bestimmen Sie die kleinste Carmichael–Zahl.
Aufgabe 16:
(i) Sei G eine multiplikative Gruppe mit Neutralelement e. Seien a ∈ G und n > 1 eine ganze Zahl
mit
an = e.
Sei p ∈ P und seien k, m ≥ 1 ganze Zahlen mit n = p k · m. Es gelte
an/p 6= e.
Zeigen Sie: Dann gilt pk | ord a.
(ii) Seien n ≥ 3 eine ungerade Zahl und
n − 1 = pα1 1 · · · pαr r
die Zerlegung von n − 1 in Primfaktoren wie im Hauptsatz. Zeigen Sie, dass n genau dann eine
Primzahl ist, wenn es eine ganze Zahl a > 1 gibt mit
(a) an−1 ≡ 1 mod n , und
(b) a(n−1)/pi 6≡ 1 mod n , i = 1, . . . , r .
In diesem Fall ist a eine Primitivwurzel modulo n.
Hinweis: Zeigen Sie, dass gilt ϕ(n) = n − 1.