Einführung in die Zahlentheorie — Klausur

Nicola Oswald, Prof. Dr. Jörn Steuding
Institut für Mathematik, Universität Würzburg
14. Juli 2010
Einführung in die Zahlentheorie — Klausur
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Bitte ankreuzen: Klausurbenotung ist erforderlich:
Ja Nein Zur Bearbeitung sind keine Hilfsmittel außer einem von Ihnen selbst beschrifteten DinA4Blatt zugelassen. Begründen Sie Ihre Argumentationen ausreichend! Für jede Aufgabe
können maximal 10 Punkte erzielt werden. Für ein Bestehen der Klausur sind mindestens 25
Punkte erforderlich; eine sehr gute Note erhält man mit bereits 50 Punkten. Viel Erfolg!
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Σ
Aufgabe 1.
(i) Bestimmen Sie die Menge der ganzzahligen Lösungen der linearen diophantischen
Gleichung
31 X − 200 Y = 1.
und berechnen Sie – falls möglich – das multiplikativ Inverse von 31 modulo 100.
(ii) Lösen Sie das folgende lineare Kongruenzsystem:
3X
X
2X
≡ 1 mod 2,
≡ −1 mod 5,
≡ 3 mod 7.
Aufgabe 2.
(i) Bestimmen Sie sämtliche Charaktere χ mod 7. Besitzt die Charaktergruppe ein Erzeugendes?
Pp−1
(ii) Berechnen Sie a=1 χ(a)2 für alle Charaktere mod p für p = 7 bzw. für eine beliebige, aber fest gewählte Primzahl p.
Aufgabe 3. Untersuchen Sie die Pellschen Gleichungen
X 2 − 11Y 2 = +1
und
X 2 − 11Y 2 = −1
auf Lösbarkeit in ganzen Zahlen. Im Falle der Lösbarkeit geben Sie die zwei kleinsten Lösungen in natürlichen Zahlen an.
Bitte wenden!
Aufgabe 4. Die Fibonacci-Zahlen Fn sind definiert durch F0 = 0, F1 = 1 und Fn+1 =
Fn + Fn−1 für n ∈ N. Beweisen Sie den Satz von Zeckendorf: Jede natürliche Zahl n besitzt
eine Darstellung als Summe von verschiedenen Fibonacci-Zahlen Fℓ , wobei weder F0 = 0
noch F1 = 1 noch zwei aufeinanderfolgende Fibonacci-Zahlen verwendet werden dürfen.
Finden Sie solche Darstellungen für die Zahlen n = 33, 50, 100.
Aufgabe 5. Zur Erinnerung: Eine zahlentheoretische Funktion h : N → C heißt multiplikativ, wenn h(mn) = h(m)h(n) für alle teilerfremden m, n ∈ N gilt.
√
√
(i) Zeigen Sie, dass die zahlentheoretische Funktion n 7→ f (n) := ⌊ n⌋ − ⌊ n − 1⌋
multiplikativ ist, wobei ⌊x⌋ die größte ganze Zahl ≤ x bezeichne.
(ii) Sind f, g multiplikative zahlentheoretische Funktionen, so ist auch deren Faltung
f ∗ g multiplikativ, dabei ist die Faltung f ∗ g für n ∈ N definiert durch
X
f (d)g(n/d).
(f ∗ g)(n) :=
d|n
Aufgabe 6.
(i) Besitzt die Gleichung
X2 − Y 2 = 1
ganzzahlige Lösungen? Wenn ja, geben Sie sämtliche solche an.
(ii) (aus der litauischen Mathematik-Olympiade 2007 für die Klassen 7 und 8)
Sherlock Holmes und Dr. Watson fragen sich, ob es ganzzahlige Lösungen x und y
der Gleichung
X 2 − Y 2 − X + Y = 10
gibt; im Falle der Existenz geben Sie sämtliche Lösungen an.
Aufgabe 7.
(i) Charakterisieren Sie alle natürlichen Zahlen n mit ϕ(n) = ϕ(2n).
(ii) Bestimmen Sie
ϕ(n)
lim sup
.
n
n→∞
Aufgabe 8. Charakterisieren Sie die ganzen Zahlen, die sich als Differenz zweier Quadrate
ganzer Zahlen darstellen lassen.
Aufgabe 9. Sei p eine ungerade Primzahl sowie a und b Primitivwurzeln modulo p. Beweisen oder widerlegen Sie:
(i) a + b ist eine Primitivwurzel modulo p,
(ii) a · b ist eine Primitivwurzel modulo p,
(iii) a2 ist keine Primitivwurzel modulo p,
(iv) a−1 mod p ist eine Primitivwurzel modulo p.
Berechnen Sie alle Primitivwurzeln modulo 13.
Aufgabe 10.
(i) Charakterisieren Sie alle Primzahlen p für die a = 13 bzw. a = 17 quadratischer
Rest modulo p ist.
(ii) Zeigen Sie: Die Kongruenz
(X 2 − 13)(X 2 − 17)(X 2 − 221) ≡ 0 mod p
ist für jede Primzahl p lösbar, während
(X 2 − 13)(X 2 − 17)(X 2 − 221) = 0
keine Lösung in Z besitzt.