3.¨Ubungsblatt zur Elementaren Zahlentheorie Anne Henke, WS

3.Übungsblatt zur Elementaren Zahlentheorie
Anne Henke, WS 2016
1. Die natürliche Zahl n habe die Dezimaldarstellung
n = am 10m + am−1 10m−1 + . . . + a1 10 + a0
(alle ai ∈ {0, 1, . . . , 9}).
Beweisen Sie, dass 3 | n bzw. 9 | n genau dann gilt, wenn 3 bzw. 9
Teiler ist von am + am−1 + . . . + a1 + a0 , dass
11 | n genau dann, wenn 11 | (am − am−1 + am−2 − . . . + (−1)m a0 ),
und erfinden (und beweisen) Sie ein Teilbarkeitskriterium für 7 | n.
2. Sei d eine natürliche Zahl, d 6∈ {2, 5, 13}. Zeigen Sie, dass es in der
Menge {2, 5, 13, d} zwei verschiedene Elemente a, b gibt, derart, dass
a · b − 1 keine Quadratzahl ist.
3. (a) Finden Sie alle ganzzahligen Lösungen x ∈ Z bzw (x, y) ∈ Z2 der
Gleichung
i. x2 − 1 ≡ 0 modulo 168;
ii. 7x3 + 2 = y 3 .
(b) Bestimmen Sie alle ganzzahligen Lösungen des Kongruenzsystems
3x ≡ 6 mod 15,
x ≡ 3 mod 6,
2x ≡ 8 mod 14.
4. Sei n = n1 · n2 · · · nk mit ni ∈ N paarweise teilerfremd. Sei für jedes
1 ≤ i ≤ k die Menge Ri ein vollständiges Restsystem modulo ni .
Zeigen Sie, dass die Menge aller Zahlen
r1 + r2 n1 + r3 n1 n2 + . . . + rk n1 n2 · · · nk−1
mit ri ∈ Ri ein vollständiges Restsystem modulo n bildet.
5. Sei k eine beliebige natürliche Zahl. Beweisen Sie, dass es k aufeinanderfolgende Zahlen gibt, von denen jede durch eine Quadratzahl > 1
teilbar ist.