Datensicherheit

Fakultät für Informatik
Professur Theoretische Informatik
und Informationssicherheit
Wintersemester 2015/16
Prof. Dr. Hanno Lefmann
Datensicherheit
7. Aufgabe
Abgabeschluss für dieses Blatt ist Dienstag, der 1. Dezember 2015, um
18:55 Uhr im Briefkasten vor Raum 1/266. Alternativ kann die Abgabe
direkt zu Beginn der Übung beim Tutor erfolgen. Bis auf weiteres sind
nur Einzelabgaben erlaubt.
Aufgabe 7a [5 Punkte] Lösen Sie, falls möglich, die beiden folgenden Systeme
simultaner Kongruenzen oder begründen Sie, warum keine Lösung existiert:
x ≡ 9 mod 11
x ≡ 7 mod 12
x ≡ 6 mod 13
x ≡ 5 mod 12
x ≡ 7 mod 13
x ≡ 8 mod 14
Aufgabe 7b [5 Punkte] Wir betrachten die Eulersche φ-Funktion. Begründen Sie,
warum für teilerfremde natürliche Zahlen n1 und n2 gilt:
φ(n1 · n2 ) = φ(n1 ) · φ(n2 ) .
Aufgabe 7c [5 Punkte] Wir betrachten die Eulersche φ-Funktion.
Zeigen Sie, dass
Qℓ
ri
für natürliche Zahlen n mit der Primfaktorzerlegung n = i=1 pi mit paarweise
verschiedenen Primzahlen p1 , . . . , pℓ und Exponenten r1 , . . . , rℓ ≥ 1 gilt:
φ(n) = n ·
ℓ
Y
(1 − 1/pi ) .
i=1
Aufgabe 7d [5 Punkte] Sei n eine gegebene natürliche Zahl. Zufällig gemäß der
Gleichverteilung werden natürliche Zahlen x mit 1 ≤ x ≤ n gezogen (Wiederholungen der gezogenen Zahlen sind möglich), bis zum ersten Mal gilt ggT (x, n) = 1.
Zeigen Sie, dass die erwartete Anzahl En an Ziehungen maximal O(log n) ist.