4. ¨Ubungsblatt für die Woche 10.11. - 16.11.2014

Fachrichtung Mathematik • Institut für Algebra • Prof. Bodirsky, Dr. Noack
Einführung in die Mathematik für Informatiker: Diskrete Strukturen INF 110
Wintersemester 2014/15
4. Übungsblatt für die Woche 10.11. - 16.11.2014
Rechnen modulo n
Ü19 (a) Gegeben sind die Zahlen m1 = 66, m2 = 34 und m3 = 11. Berechnen Sie in Z12 :
m1
m1 · m2 , m3 − m2 ,
und m10
2 .
m3
(b) Berechnen Sie den Wert z = 47201 mod 11 und die letzte Ziffer der Zahl 21000 .
Ü20 (a) Für welche der Elemente z1 = 7, z2 = 13 und z3 = 15 aus Z24 existiert das
multiplikativ Inverse in Z24 ? Berechnen Sie dieses gegebenenfalls mit Hilfe des
erweiterten euklidischen Algorithmus.
(b) Bestimmen Sie alle x ∈ Z87 , die die Gleichung 107 · x ≡ 3 (mod 87) erfüllen.
(c) Finden Sie alle x ∈ N, die bei Division durch 7 den Rest 2 und bei Division durch
24 den Rest 1 lassen.
Ü21 Betrachtet wird die Menge Z14 .
(a) Wie viele Einheiten, wie viele Nullteiler hat Z14 ?
(b) Bestimmen Sie alle Elemente aus Z14 , die Erzeuger der Gruppe (Z14 ; +) sind.
(c) Stellen Sie für die Gruppe der Einheiten (Z∗14 ; ·) die Verknüpfungstafel auf, und
geben Sie zu jedem Element sein Inverses an.
H22 A Betrachtet wird die Menge Z88 mit der Addition und Multiplikation mod 88.
(a) Verwenden Sie die Eulersche φ-Funktion, um die Anzahl aller Einheiten und aller
Nullteiler in Z88 zu berechnen. Welche der folgenden Zahlen sind Einheiten, welche
sind Nullteiler: z1 = 15, z2 = 20, z3 = 63 ? Begründen Sie!
(b) Bestimmen Sie alle x ∈ Z88 , die die Gleichung 105 · x ≡ 2 (mod 88) erfüllen.
Nutzen Sie dabei den erweiterten euklidischen Algorithmus.
H23 (a) Berechnen Sie die letzten drei Ziffern der Zahl 7413 . Verwenden Sie dazu die
Methode “Verdoppeln und Quadrieren”.
(b) Ermitteln Sie alle Zahlen x ∈ Z100 , für die gilt: 413 · x ≡ 7 (mod 100).
*(c) Finden Sie die kleinste natürliche Zahl n, die bei der Division durch 3 den Rest 1,
bei Division durch 4 den Rest 2 und bei Division durch 5 den Rest 3 lässt.
H24 (a) Beweisen Sie: Eine Zahl ist genau dann durch 11 teilbar, wenn ihre alternierende
Quersumme durch 11 teilbar ist (z.B. für 924 ist dies 9-2+4 = 11).
(Eine Betrachtung mod 10 ist zu empfehlen.)
(b) Zeigen Sie durch Betrachtung mod 5, dass n5 − n für alle n ∈ N durch 5 teilbar ist.