Grundlagen der Algebra und der elementaren Zahlentheorie

UNIVERSITÄT KOBLENZ LANDAU, CAMPUS LANDAU
INSTITUT FÜR MATHEMATIK
Dr. Dominik Faas
Grundlagen der Algebra und der elementaren Zahlentheorie
Sommersemester 2011
Übungsaufgaben zur Vorlesung vom 30.06.2011
Aufgabe Ü16
überprüfen Sie, ob die folgenden linearen Kongruenzen lösbar sind und bestimmen Sie
mit Hilfe von Äquivalenzumformungen alle Lösungen. Geben Sie das Ergebnis in Form einer oder mehrerer vollständig aufgelöster (und möglichst einfacher) Kongruenzen zum Modul der
gegebenen Kongruenz an.
(i) 31 · x ≡ 82 mod 100
(ii) 36 · x ≡ 56 mod 84
(iii) 75 · x ≡ 51 mod 612
(vergleiche Ü15)
(iv) 50 · x ≡ 100 mod 125
Aufgabe Ü17
(a) Stellen Sie Verknüpfungstabellen für (R9 , ⊕) und (R9 , ) auf.
(b) Bestimmen Sie alle Nullteiler und alle bezüglich invertierbaren Elemente von R9 .
(c) Welchen Rest lassen die Zahlen 2345678, 6100 , 8100 und 5100 bei Division durch 9.
Aufgabe Ü18
(a) Gegeben sei eine Quadratzahl x = a2 (a ∈ Z). Welchen Rest kann x bei Division durch
3 bzw. 4 bzw. 5 haben? Diese Aufgabe entspricht Aufgabe Ü3. Lösen Sie sie nun, indem
Sie (jeweils für m = 3, m = 4 und m = 5) zu jedem möglichen Wert der Restklasse a ∈ Rm
das Quadrat a2 berechnen.
(b) Gegeben sei eine Kubikzahl x = a3 (a ∈ Z). Welchen Rest kann x bei Division durch
6 bzw. 7 haben?
Aufgabe Ü19
Gegeben sei m ∈ N mit m ≥ 2 und a ∈ Rm mit a 6= 0. Zeigen Sie:
a ist ein Nullteiler in Rm
⇔
ggT(a, m) 6= 1
Diese Übungsblätter finden sie auch unter
http://www.uni-koblenz-landau.de/landau/fb7/mathematik/team/dominik-faas/material/azt