4. Kurz-Lösungen für die Woche 10.11. - 16.11.2014

Fachrichtung Mathematik • Institut für Algebra • Prof. Bodirsky, Dr. Noack
Einführung in die Mathematik für Informatiker: Diskrete Strukturen INF 110
Wintersemester 2014/15
4. Kurz-Lösungen für die Woche 10.11. - 16.11.2014
Gruppentheorie
Ü26 (c) Berechnung der Potenzen der vier Zahlen in GF(11):
n
2n
3n
4n
7n
0
1
1
1
1
1
2
3
4
7
2
4
9
5
5
3
8
5
9
2
4
5
4
3
3
5
10
1
1
10
6
9
3
4
4
7
7
9
5
6
8
3
5
9
9
9
6
4
3
8
⇒ 2 und 7 sind primitiv.
Logarithmentafeln:
z
0
1 2
log2 z −∞ 0 1
3
8
4
2
5
4
6
9
7
7
8
3
9
6
10
5
29 + 513 = 6 + (24 )3 = 6 + 22 = 10
9−1 = 2−6 = 210−6 = 5
6
32
43 −34
= 2 2−2
= 216−12 − 220 = 5 − 1 = 4.
12
53
Ü27 Es seien a, b, c ∈ G beliebig. Dann gilt:
−1
−1
a◦b=a◦c⇒a
| {z◦ a} ◦ b = a
| {z◦ a} ◦ c ⇒ b = c.
=e
=e
Die andere Aussage beweist man analog.
H29 (a) erzeugenden Elemente sind gerade die Einheiten von Z15 : 1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14.
G ist nicht zyklisch (nicht isomorph zu (Z8 , +)).
(b) GF(13) = {0, 1, 2, 3, · · · , 12}
n
0 1
2
3 4 5
6
7 8 9 10 11
2n
1 2
4
8 3 6 12 11 9 5 10 7
3n
1 3
9
1
5n
1 5 12 8 1
6n
1 6 10 8 9 2 12 7 3 5 4 11
7n
1 7 10 5 9 11 12 6 3 8 4
2
8n
1 8 12 5 1
10n 1 10 9 12 3 4
1
11n 1 11 4
5 3 7 12 2 9 8 10 6
Primitive Elemente: 2, 6, 7, 11
2−1 = 7, 7−1 = 2, 3−1 = 9, 9−1 = 3,
4−1 = 10, 10−1 = 4,
−1
−1
−1
−1
5 = 8, 8 = 5, 6 = 11, 11 = 6, 12−1 = 12.
Berechnungen:
711 − 531 ≡ 7 (mod 13);
4
9 ≡ 12 (mod 13)
1+354
4−210
≡ 4 (mod 13).
H30 (a) ⇒
Es gelte r 6= s ⇒ z · r 6= z · s ∀ r, s ∈ Zn .
Annahme: z keine Einheit ⇒ z ist Nullteiler, d.h. es existiert m ∈ Zn , m 6= 0 mit z · m = 0
(Rechnung in Zn , d.h. modulo n). nach Voraussetzung (z · r = z · s ⇒ r = s) ist dann
m = 0 ⇒ Widerspruch! ⇒ z ist Einheit.
⇐ Es sei z Einheit, dann gilt für bel. r, s ∈ Zn : z · r = z · s ⇒ z −1 · z · r = z −1 · z · s ⇒ r = s.
(b) Seien a, b ∈ G beliebig. Dann gilt:
1 = (a ◦ b) ◦ (a ◦ b) ⇒ a = b ◦ a ◦ b ⇒ b ◦ a = a ◦ b.