Fachrichtung Mathematik • Institut für Algebra • Prof. Bodirsky, Dr. Noack Einführung in die Mathematik für Informatiker: Diskrete Strukturen INF 110 Wintersemester 2014/15 4. Kurz-Lösungen für die Woche 10.11. - 16.11.2014 Gruppentheorie Ü26 (c) Berechnung der Potenzen der vier Zahlen in GF(11): n 2n 3n 4n 7n 0 1 1 1 1 1 2 3 4 7 2 4 9 5 5 3 8 5 9 2 4 5 4 3 3 5 10 1 1 10 6 9 3 4 4 7 7 9 5 6 8 3 5 9 9 9 6 4 3 8 ⇒ 2 und 7 sind primitiv. Logarithmentafeln: z 0 1 2 log2 z −∞ 0 1 3 8 4 2 5 4 6 9 7 7 8 3 9 6 10 5 29 + 513 = 6 + (24 )3 = 6 + 22 = 10 9−1 = 2−6 = 210−6 = 5 6 32 43 −34 = 2 2−2 = 216−12 − 220 = 5 − 1 = 4. 12 53 Ü27 Es seien a, b, c ∈ G beliebig. Dann gilt: −1 −1 a◦b=a◦c⇒a | {z◦ a} ◦ b = a | {z◦ a} ◦ c ⇒ b = c. =e =e Die andere Aussage beweist man analog. H29 (a) erzeugenden Elemente sind gerade die Einheiten von Z15 : 1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14. G ist nicht zyklisch (nicht isomorph zu (Z8 , +)). (b) GF(13) = {0, 1, 2, 3, · · · , 12} n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2n 1 2 4 8 3 6 12 11 9 5 10 7 3n 1 3 9 1 5n 1 5 12 8 1 6n 1 6 10 8 9 2 12 7 3 5 4 11 7n 1 7 10 5 9 11 12 6 3 8 4 2 8n 1 8 12 5 1 10n 1 10 9 12 3 4 1 11n 1 11 4 5 3 7 12 2 9 8 10 6 Primitive Elemente: 2, 6, 7, 11 2−1 = 7, 7−1 = 2, 3−1 = 9, 9−1 = 3, 4−1 = 10, 10−1 = 4, −1 −1 −1 −1 5 = 8, 8 = 5, 6 = 11, 11 = 6, 12−1 = 12. Berechnungen: 711 − 531 ≡ 7 (mod 13); 4 9 ≡ 12 (mod 13) 1+354 4−210 ≡ 4 (mod 13). H30 (a) ⇒ Es gelte r 6= s ⇒ z · r 6= z · s ∀ r, s ∈ Zn . Annahme: z keine Einheit ⇒ z ist Nullteiler, d.h. es existiert m ∈ Zn , m 6= 0 mit z · m = 0 (Rechnung in Zn , d.h. modulo n). nach Voraussetzung (z · r = z · s ⇒ r = s) ist dann m = 0 ⇒ Widerspruch! ⇒ z ist Einheit. ⇐ Es sei z Einheit, dann gilt für bel. r, s ∈ Zn : z · r = z · s ⇒ z −1 · z · r = z −1 · z · s ⇒ r = s. (b) Seien a, b ∈ G beliebig. Dann gilt: 1 = (a ◦ b) ◦ (a ◦ b) ⇒ a = b ◦ a ◦ b ⇒ b ◦ a = a ◦ b.