Ubungen zu Algebra und Diskrete Mathematik I

Universität Duisburg-Essen
Fachbereich Mathematik
Prof. Dr. Günter Törner
Dipl.-Math. Miriam Dieter
SS 2010
Übungen zu Algebra und Diskrete Mathematik I
Blatt 4
Aufgabe 13
Laut Vorlesung gibt es für zwei ganze Zahlen a, n ∈ Z, n 6= 0 eine eindeutige Darstellung a = q · n + r. Den Rest
der Division r bezeichnet man auch mit r = a mod n (sprich: a modulo n). Beweisen Sie folgende Aussage:
Das System
x = a1 mod n1
x = a2 mod n2
mit n1 , n2 teilerfremd, besitzt eine eindeutige Lösung mod (n1 · n2 ).
Hinweis: Es gilt: a = 0 mod n ⇔ n | a.
Aufgabe 14
a) Gegeben sei die Rekursion p0 = 3, p1 = 7 und pn = 3pn−1 − 2pn−2 für n ≥ 2. Beweisen Sie, dass für alle n ∈ N
gilt: pn = 2n+2 − 1
b) Eine Rekursion sei gegeben durch a0 = 1, a1 = 2, a2 = 3 und an = an−1 + an−2 + an−3 für n ≥ 3. Zeigen Sie,
dass für alle n ∈ N gilt: an ≤ 3n
Aufgabe 15
a) Die Fibonacci-Zahlen sind wie folgt rekursiv definiert: F0 = 0, F1 = 1 und Fn = Fn−1 + Fn−2 für n ≥ 2.
Zeigen Sie, dass für alle n ∈ N gilt:
2n
X
2
Fi Fi−1 = F2n
i=1
b) Die Lucas-Zahlen sind für n ≥ 2 rekursiv definiert durch L0 = 2, L1 = 1 und Ln = Ln−1 + Ln−2 . Zeigen Sie,
dass für alle n ∈ N gilt:
n
X
Li = Ln+2 − 1
i=0
c) Beweisen Sie den folgenden Zusammenhang zwischen Fibonacci- und Lucas-Zahlen:
Ln = Fn+1 + Fn−1
(n ∈ N)
Aufgabe 16
a) Wie viele ganze Zahlen zwischen 0 und 10.000 haben genau eine Ziffer, die gleich 5 ist?
b) Gegeben sei die Multimenge S = {a, a, a, b, b, c, c, c, c}. Bestimmen Sie die Anzahl der 7-Permutationen und
der 8-Permutationen.
Abgabe: Bis Montag, den 10. Mai 2010, 9:00 im Postkasten LE 4.Etage.