h(1) = h(n +1) = 2h(n)+2 f(0) = 1 f(1) = 0 f(n) = 4f(n 1) 3f(n 2) c13n

SS 2008
Diskrete Mathematik
Übungsblatt 7, Quiz 1
1. Finden Sie für die Rekursion
h(1) = h(n + 1) = 2h(n) + 2n eine geschlossene Form
h(n) = A(n) + B (n) .
Lösung: 1.Ansatz h(n) = 2n 8n . Es folgt = 2; = 0; A(n) = 2n 1 .
2.Ansatz h(n) = n2n 8n . Es folgt = 2; = 2; B (n) = (n
Geschlossene Form:
h(n) = 2n + (n
1)2n 1 .
1)2n 1 .
2. Finden Sie eine geschlossene Form für die Rekursion
f (0) = 1
f (1) = 0
f (n) = 4f (n
1) 3f (n 2)
Lösung: Die charakteristische Gleichung x2
4x + 3 = 0 hat die Lösungen. 3 und 1. c1 3n
und c2 1n = c2 sind damit homogene Lösungen. Die Randbedingungen sind mit c1 = 21
und c2 = 32 erfüllt. Also ist f (n) = 12 3n + 32 .
3. Sie haben beliebig viele Briefmarken zu 5, 10 und 20 Cent und sollen einen Brief
mit 55 Cent frankieren.
Wieviele Möglichkeiten haben Sie?
Lösung:
A(x) = 1 1x5
B (x) = A(x) 1 1x10
C (x) = B (x) 1 1x20
)
)
)
A(x) = x5 A(x) + 1
B (x) = x10 B (x) + A(x)
C (x) = x20 C (x) + B (x)
)
)
)
C55 = C35 + B55 C35 = C15 + B35 C15 = B15
B55 = B45 + A55 B45 = B35 + A45 : : : B5 = A5
n 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
An 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1
2
3
4
5
Bn
Cn
2
6
An = An 5 + [n = 0] = [5 j n]
Bn = Bn 10 + An
Cn = Cn 20 + Bn
55
1
6
12
4. Finden Sie für die Rekursion
f (0) = 1
f (1) = 0
f (2) = 1
f (n) = f (n
1) f (n 2) + f (n 3)
SS 2008
Diskrete Mathematik
Übungsblatt 7, Quiz 1
eine geschlossene Form.
Lösung: f (n) = 1 + 21 (in+1 + ( i)n+1 ).
5. Turing's Code, Version 2.0 (mit sehr kleinen Zahlen) Der (öentlich bekannte)
Modulus sei p = 13, der (geheime) Schlüssel k = 6. Ihre Freundin schickt Ihnen die
verschlüsselte Botschaft m = m 6 rem 13 = 8.
Wie lautet die Klartextbotschaft
m?
Erklärung Turing's Code, Version 2.0 funktioniert so: Der Modulus p ist prim und public,
der Schlüssel ist k 2 f1; : : : ; p 1g und geheim(!), die geheime Botschaft ist m 2 f1; : : : ; p 1g.
Verschlüsseln geht so: m = mk mod p. Entschlüsseln geht so: m = m k 1 mod p. Hier ist
k 1 das p-modulare Inverse zu k.
Lösung: Bestimmung des modularen Inversen 6 1 : 13s + 6t = 1 wird mit s =
erfüllt, also ist 6 1
8 11 rem 13 = 10.
11 mod 13. Die Klartextbotschaft ist m m k
1
5; t = 11
mod p, also m =
2