Wiederholung

Computeralgebra: Übungsblatt 1
Dr. Hog-Angeloni/Joerg Hofmann
1.1
Auf der reellen Ebene R2 betrachten wir die Relation
(x, y) ∼ (x0 , y 0 )
:⇔
∃t ∈ R∗ x0 = tx, y 0 =
y
.
t
1. Zeigen Sie, dass es sich um eine Äquivalenzrelation handelt.
2. Zeichnen Sie die Äquivalenzklassen, in denen die Punkte (1, 1), (1, −2), (3, 1), (0, 4), (5, 0) und
(0, 0) liegen.
3. Geben Sie eine vollständige Liste aller Äquivalenzklassen an.
1.2
Beweisen Sie mit vollständiger Induktion die Formel
n
X
k=1
1
n
=
.
k(k + 1)
n+1
Betrachten Sie außerdem
◦
D1
◦
◦
◦
◦
D2
◦
◦
◦
◦
D3
◦
und
1. Geben Sie eine Formel für die Dn , n ∈ N an und beweisen Sie sie.
2. Berechnen Sie 13 , 13 +23 , 13 +23 +33 , . . . Was haben diese Zahlen mit den Dn zu tun? Formulieren
Sie eine Vermutung.
3. Beweisen Sie diese Vermutung mit vollständiger Induktion.
1.3
Welche der folgenden Ringe sind isomorph? Geben Sie im Falle der Isomorphie jeweils einen Isomorphismus und sein Inverses explizit an.
1. Z/111 und Z/3 × Z/37.
2. Z/24 und Z/4 × Z/6.
3. Z/120 und Z/3 × Z/5 × Z/8.
1.4
Bestimmen Sie alle Lösungen der folgenden simultanen Kongruenzen:
i) x ≡ 4
mod 4,
x≡3
x≡2
Abgabe: keine Abgabe
2x ≡ 8
mod 3,
mod 5,
4x ≡ 7
mod 11,
mod 13.
6x ≡ 4
mod 14.
ii)
Computeralgebra: Übungsblatt 1
Dr. Hog-Angeloni/Joerg Hofmann
1.5
Führen Sie für die folgenden Polynome p, q ∈ C[X] die Division mit Rest durch und finden Sie
a, r ∈ C[X], deg r < deg q mit p = aq + r.
p = X 4 − 9X 3 + 3X 2 − 18X + 39, q = X 3 − 3X 2 + X − 13,
Abgabe: keine Abgabe