¨Ubungen zur Analysis Josef Hofbauer WS 2009 5. Summen

Übungen zur Analysis
Josef Hofbauer
WS 2009
5. Summen- und Produktschreibweise 1. Schreiben Sie die folgenden Ausdrücke ohne
Verwendung der Summen- bzw. Produktzeichen an:
Pn
P5
k−1
2k+1
(c)
(a)
k
k=0 x
k=2
Q9 3
P−6
(d) j=1 i
(b)
k=−4 bk+3
6. Summen- und Produktschreibweise 2. Schreiben Sie die folgenden Ausdrücke mit Hilfe
von Summen- bzw. Produktzeichen:
(a) 1 + 5 + 25 + 125 + 625
(b) a1 + a3 + a5 + a7 + a9 + a11
(c) 1 · 3 · 5 · 7 · 9 · · · · · (2n − 1)
(d)
1
2
− 61 +
1
12
−
1
20
4
+
1
30
−
1
42
(e) x6 + 3x5 + 9x + 27x3 + 81x2 + 243x + 729
7. Summen- und Produktschreibweise 3. Überprüfen Sie, welche der folgenden Gleichungen gelten. Sollten Sie in einer Gleichung einen Fehler finden, so stellen Sie die rechte
Seite richtig.
(a)
5
X
ai =
i=1
(b)
aj−2
j=3
2n 1X
j
(−1) + 1 r j
=
2 j=0
n
X
r
N
X
(xt − xt−1 ) = xn − xN
2k
k=0
(c)
7
X
t=n
(d)
n X
k
X
k=0 j=0
j k−j
ab
=
n X
n
X
aj bk−j
j=0 k=j
8. Finden Sie eine einfache Formel für die Summe 1 + 3 + 5 + · · · + (2n − 1) und zeigen
Sie diese mit vollständiger Induktion.
9. Ebenso für 1 · 2 + 2 · 3 + . . . + n(n + 1)
10.
12 + 22 + 32 + · · · + n2 =
n(n + 1)(2n + 1)
6
11.
13 + 23 + 33 + · · · + n3 =
12. Für welche natürlichen Zahlen gilt 2n > n2 ?
2
n2 (n + 1)2
4
13. Finden Sie eine einfache Formel für die Summe
1
1·2
14.
2
1+q +q +···+q
15.
1 + 2q + 3q 2 + · · · + nq n−1 =
n−1
+
1
2·3
+
1
3·4
+···+
1
.
n(n+1)
qn − 1
=
q−1
1 − (n + 1)q n + nq n+1
(1 − q)2
16. Zeigen Sie mit vollständiger Induktion: Durch n in einer Ebene gezogenen Geraden
wird die Ebene in höchstens 2n Teile zerlegt.
17. Mengenoperationen 1. Gegeben seien die Mengen A = {a, b, c, d}, B = {b, d, f, h},
C = {a, c, e, g} und D = {a, b, g, h}. Berechnen Sie
(a) (A \ B) ∪ C
(b) (A ∩ B) \ (A ∩ D)
(c) (A ∪ C) \ B
(d) A ∪ (B \ C)
(e) (A × B) \ (B × D)
(f) (A × C) ∪ (B ∩ D)
18. Mengenoperationen 2. Seien A und B Mengen. Zeigen Sie:
(a) B ⊆ A ⇒ A ∪ B = A und A ∩ B = B
(b) B ∪ A = A ⇔ B ⊂ A
(c) (A \ B) ∪ (B \ A) = (A ∪ B) \ (A ∩ B)
19. Äquivalenzrelationen 1. Welche der folgenden Relationen ist eine Äquivalenzrelation?
(a) Auf der Menge Z der ganzen Zahlen betrachten wir die Relation
x ≡ y :⇔ x − y ist durch 3 teilbar.
(b) Bei einem Skirennen betrachtet man 2 Laufzeiten als gleich, wenn sie sich abgerundet auf Hundertstelsekunden nicht unterscheiden.
(c) Auf der Menge aller Menschen betrachten wir x und y als in Relation stehend,
wenn x und y einander kennen.
(d) Auf der Menge aller Studenten betrachten wir x und y als in Relation stehend,
wenn x eine höhere Matrikelnummer als y hat.
(e) Auf der Menge aller Menschen betrachten wir folgende Relation: x ist in Relation
zu y, wenn x nicht kleiner als y ist.
(f) Bei einer Versuchsreihe werden zwei Messergebnisse als gleich betrachtet, wenn
sie sich um weniger als 10−22 m unterscheiden. Definiert dieser Gleichheitsbegriff
eine Äquivalenzrelation?
3
20. Äquivalenzrelationen 2. Auf der Menge Z der ganzen Zahlen betrachten wir die Relation
x ≡ y :⇔ x − y ist gerade.
(a) Beweisen Sie, dass ≡ eine Äquivalenzrelation ist.
(b) Ist dies auch noch der Fall, wenn man in der Definition gerade durch ungerade
ersetzt?
(c) Finden Sie andere Beispiele für Äquivalenzrelationen auf Z.
21. Rechnen mit Restklassen
(a) Stellen Sie fest, ob die angegebenen Zahlen in derselben Restklasse modulo m
liegen:
(i)
(ii)
(iii)
4, 16 mod 2
8, 7885 mod 6
3, 15 mod 3
(iv)
(v)
(vi)
−4, 19 mod 15
−7, −13 mod 3
−1, 1 mod 3
(b) Berechnen Sie jeweils (b1) die kleinste natürliche und (b2) die größte negative
ganze Zahl x, für die gilt:
(i)
(ii)
x = 244 mod 2
x = 3 + 19 mod 6
(iv)
(v)
x = −(25 · 42) mod 13
x = (12324 ) mod 5
(iii)
x = 32
(vi)
x = (−1)11233
mod 4
33448
mod 89
22. Ordnungsrelationen.
(a) Welche der Relationen aus Beispiel 19 sind Ordnungsrelationen?
(b) Gibt es Relationen auf Mengen, die sowohl Äquivalenz- als auch Ordnungsrelationen sind?
23. Ordnung und Schranken. Betrachten wir R mit der (natürlichen) Ordnung ≤. Geben
Sie für die folgenden Teilmengen von R obere und untere Schranken an, falls diese
existieren. Handelt es sich dabei um Maxima resp. Minima? Sind die entsprechenden
Mengen beschränkt?
(a) ] − 1, 3]
(e) ] − 3, 2[∪[4, 5[
(b) [a, ∞)
(f) ∅
(c) P, die Primzahlen
\
(d)
[−n, n]
(g) R− , die Menge der negativen reellen Zahlen.
[ 1
(h)
n
n∈N\{0}
n∈N\{0}
4
24. In einem geordneten Körper folgt aus b, d > 0, dass
a
c
<
⇐⇒ ad < bc.
b
d
25. Ist 0 ≤ a ≤ ε für jedes ε > 0, so ist a = 0.
26. Zeigen Sie für a, b ∈ R:
(a) |a + b| ≤ |a| + |b|,
(b) |a − b| ≤ |a| + |b|,
(c) |a| − |b| ≤ |a − b|.
27. Zeigen Sie für a, b ∈ R:
(a) ab = |a|
für b 6= 0,
|b|
(b) a2 = a2 = |a|2 ,
(c) |a − b| < r ⇐⇒ a − r < b < a + r für r > 0.
28. Zeigen Sie für a, b ∈ R die Ungleichung
|ab| ≤ 21 (a2 + b2 ).
29. Zeigen Sie, dass für a, b ∈ R gilt
|a + b| + |a − b| ≥ |a| + |b|
30. Minimum, Maximum und Betrag. Zeigen Sie, dass für a, b ∈ R gilt:
a + b + |a − b|
,
2
a + b − |a − b|
(b) min(a, b) =
,
2
(c) max(a, b) − min(a, b) = |a − b|.
(a) max(a, b) =
5