Algebra Übungsblatt 14

Institut für Algebra und Geometrie
Prof. Dr. C.-G. Schmidt
Dipl.-Math. Jingwei Zhao
01.02.2013
Algebra Übungsblatt 14
Aufgabe 1
(4 Punkte)
Nach der Vorlesung ist jedes Element x ∈ Qp eindeutig darstellbar als konvergente Reihe
x=
∞
P
an pn mit an ∈ {0, · · · , p − 1}, m ∈ N0 .
n=−m
Zeigen Sie, dass x genau dann in Q ist, wenn die Folge (an )n∈N periodisch wird, d.h.,
wenn es n0 , d ∈ N gibt, sodass an = an+d für alle n ≥ n0 gilt.
Aufgabe 2
(4 Punkte)
Sei p eine Primzahl und sei Z[[X]] der Ring der formalen Potenzreihen
an ∈ Z. Betrachten Sie die Abbildung ϕ : Z[[X]] → Zp deniert durch
∞
∞
P
P
an X n 7→
an pn . Zeigen Sie:
n=0
∞
P
an X n mit
n=0
n=0
(a) ϕ ist ein Homomorphismus von Ringen mit 1.
(b) ϕ ist surjektiv mit Kern (X − p) und es gilt: Zp ∼
= Z[[X]]/(X − p).
Aufgabe 3
(4 Punkte)
Beweisen Sie das Irreduzibilitätskriterium von Eisenstein für p-adische Zahlen:
n
P
Sei das Polynom f = ai X i ∈ Zp [X], sodass
i=0
ˆ ai ≡ 0 mod p für 0 ≤ i ≤ n − 1,
ˆ a0 6≡ 0 mod p2 und
ˆ an 6≡ 0 mod p.
Dann ist f irreduzibel über Zp .
Aufgabe 4
(4 Punkte)
Seien k ein
Q Körper und p(X) ∈ k[X] ein normiertes Polynom mit der Primzerlegung
p(X) = ni=1 pi (X)ei , pi (X) ∈ k[X] und ei ∈ N. Zeigen Sie mit dem chinesischen
Restsatz, dass dann gilt:
k[X]/(p(X)) ∼
=
n
M
k[X]/(pi (X))ei .
i=1
Abgabe: Bis Donnerstag, den 07.02.2013, in den dafür vorgesehenen gelben Einwurfkasten im Allianzgebäude vor Raum 1C-04 oder vor Beginn der Übung an die Übungsleiterin.