1. ¨Ubung Informatik A WS 06/07

1. Übung
Informatik A
Klaus Kriegel
Aufgabe 1:
WS 06/07
Abgabe: 01.11.2006, 10:00 Uhr
k-näre Zahldarstellung
(10 Punkte)
Die Lösung dieser sehr einfachen Aufgaben erfolgt durch Anwendung des in der Vorlesung besprochenen Algorithmus’. Deshalb ist es wichtig, nicht nur das Ergebnis
aufzuschreiben, sondern den Lösungsweg kurz darzustellen:
a) Stellen Sie die Zahl 1532 im Binär- und Oktalsystem (d.h. Basis k = 2 und k = 8)
dar, sowie in den Zahlsystemen zur Basis k = 3 und k = 5.
b) In den Tutorien wird gezeigt, wie man die Schulmethoden zur Addition und Multiplikation von Dezimalzahlen auf andere Systeme übertragen werden kann. Stellen Sie zur
Übung die Zahlen 19 und 21 im Binärsystem dar, führen Sie die Addition und Multiplikation dieser beiden Zahlen aus und überprüfen Sie die Korrektheit der Ergebnisse.
c) Führen Sie die Berechnungen aus Teilaufgabe b) noch einmal im System mit der Basis
k = 5 aus.
Aufgabe 2:
Rechnen mit Resten
(6 Punkte)
Für eine Zahl n ∈ Z und einen ganzzahligen Teiler d ≥ 2 bezeichnet n mod d den Rest
bei der ganzzahligen Division von n durch d. Zwei Zahlen m, n ∈ Z werden kongruent
modulo d genannt, wenn sie beim Teilen durch d den gleichen Rest haben, man schreibt
dafür n ≡ m (mod d). Es ist klar, dass n genau dann durch d teilbar ist, wenn
n mod d = 0. Eine wichtige Eigenschaft der Kongruenz ist Verträglichkeit mit der
Adition und Multiplikation, d.h. aus n ≡ n0 (mod d) und m ≡ m0 (mod d) folgt
n + m ≡ n0 + m0 (mod d) und n · m ≡ n0 · m0 (mod d).
Im Tutorium besprechen Sie, wie man mit dieser Eigenschaft die bekannte Regel für die
Teilbarkeit einer Dezimalzahl durch 3 ableiten kann.
a) Stellen Sie eine ähnliche Regel für die Teilbarkeit durch 7 auf, wenn die zu teilende
Zahl im Oktalsystem dargestellt ist und beweisen Sie diese Regel. Bei welchen Teilern
kann man analoge Regeln für Hexadezimalzahlen (Basis k = 16) angeben.
b) Beweisen Sie, dass für jede ungerade Zahl n ∈ N die Binärdarstellung von n2 mit 01
endet. (Hinweis: Jede ungerade Zahl n ∈ N hat die Form n = 2m + 1 mit m ∈ N.)
Aufgabe 3:
Palindrome
(3 Punkte)
Ein Wort a1 a2 . . . an wird Palindrom genannt, wenn ai = an+1−i für alle 1 ≤ i ≤ bn/2c
gilt.
a) Geben Sie in Analogie zu Σ∗ = {ε} ∪ Σ ◦ Σ∗ eine rekursive Definition für die Menge
P aller Palindrome über dem Alphabet Σ = {0, 1}.
b) Wieviele Palindrome der Länge n gibt es über einem k-elementigen Alphabet Σ?
Wieviele 5-stellige Dezimalzahlen sind Palindrome? Begründen Sie Ihre Antworten.