Einige Grundbegriffe der Aussagenlogik

Einige Grundbegriffe der
Aussagenlogik
Da sich die Mathematik beim Beweis von Sätzen der klassischen Aussagenlogik bedient, sollen im folgenden einige Grundbegriffe zusammengestellt
werden.
Eine Aussage ist dabei ein Satz, wo einem ”Ding” eine Eigenschaft zugeschrieben
wird. Aussagen können wahr (w) oder falsch (f) sein. (Sprachliche
Äußerungen wie Fragen oder Aufforderungen sind in diesem Sinn keine
Aussagen)
Beispiele. ”Dieser Apfel ist rot” , ”Die Figur a hat sieben Ecken” , ”5
ist eine gerade Zahl” , ”Es gibt eine gerade Zahl”.
Aus einer gegebenen Aussage A kann die Negation von A, kurz ¬A,
gebildet werden, die wiederum eine Aussage darstellt.
√
Beispiel. A : ” 2 ist rational”
√
¬A : ” 2 ist nicht rational”
Aus gegebenen Aussagen kann man nun in verschiedener Weise zu neuen
Aussagen gelangen bzw. Aussageformen bilden:
1) Konjunktion A ∧ B (”A und B”)
A ∧ B ist nur dann wahr, wenn A und B wahr sind, sonst falsch.
2) Disjunktion A ∨ B (”A oder B”)
A ∨ B ist genau dann wahr, wenn eine der Aussagen A oder B wahr ist.
(Nichtausschließendes ”oder”)
3) Subjunktion A → B (” Wenn A, dann B”)
A → B ist nur dann falsch, wenn A wahr und B falsch ist.
4) Bisubjunktion A ↔ B
(” Nur wenn A, dann B”)
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Eine Tautologie ist eine immer wahre Aussageform, z.B. A ∨ ¬A .
Eine Kontradiktion ist eine immer falsche Aussageform, z.B. A ∧ ¬A .
Eine Implikation (logische Folgerung) A ⇒ B liegt dann vor, wenn
A → B eine Tautologie ist, z.B. A → A ∨ C (mit B = A ∨ C).
Man sagt auch, B eine notwendige Bedingung für A ist bzw. dass A
eine hinreichende Bedingung für B ist.
Mathematische Sätze haben oft die Form ”A ⇒ B”, d.h. unter der Voraussetzung, dass A gilt, wird durch gültige Schlussfolgerungen nachgewiesen,
dass auch B gilt.
Eine Äquivalenz liegt dann vor, wenn A ↔ B eine Tautologie ist.
Wichtige Äquivalenzen sind etwa:
A ⇔ ¬(¬A)
A∨B ⇔B∨A , A∧B ⇔B∧A
A ∨ (B ∨ C) ⇔ (A ∨ B) ∨ C
, A ∧ (B ∧ C) ⇔ (A ∧ B) ∧ C
A ∨ (B ∧ C) ⇔ (A ∨ B) ∧ (A ∨ C) , A ∧ (B ∨ C) ⇔ (A ∧ B) ∨ (A ∧ C)
¬(A ∨ B) ⇔ (¬A) ∧ (¬B) , ¬(A ∧ B) ⇔ (¬A) ∨ (¬B)
A → B ⇔ (¬B) → (¬A) ⇔ (¬A) ∨ B
A ↔ B ⇔ (A → B) ∧ (B → A)
Beim sog. indirekten Beweisverfahren soll A ⇒ B bewiesen werden.
Man nimmt an, dass B falsch ist. Gelingt es dann zu zeigen, dass A falsch
sein muß, ist die Gültigkeit der Implikation nachgewiesen (”Beweis durch
Widerspruch”).
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Weitere wichtige logische Symbole sind die Quantoren.
• ∀ ... für alle (für jedes), z.B. ∀x ist A(x) richtig
• ∃ ... es gibt ein (es existiert ein), z.B. ∃x sodass A(x)
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• ∃ ... es gibt genau ein
Wichtig für die mathematische Argumentation ist auch die Fähigkeit, mathematische Aussagen bzw. Behauptungen negieren zu können.
So gilt beispielsweise
¬(∀x : A(x)) ⇔ ∃x : ¬A(x)
¬(∃x : A(x)) ⇔ ∀x : ¬A(x)
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