Wiederholung Aussagenlogik: Aussage: sprachliches Gebilde, das

S2
Wirtschaftsmathematik
Seminar 2: Aussagenlogik und Mengenlehre
Wiederholung Aussagenlogik:
Aussage: sprachliches Gebilde, das entweder wahr (w) oder falsch (f) ist
Aussageform: sprachliches Gebilde, deren Wahrheitswert von einer oder
mehreren Variablen abhängt; für jede Auswahl von Werten für diese
Variablen bildet die Aussageform eine Aussage
Definitionsmenge DA einer Aussageform A(x):
Menge aller x, für die A(x) zu einer Aussage wird.
Lösungsmenge LA einer Aussageform A(x):
Menge aller x, für die A(x) zu einer wahren Aussage wird.
Allgemeingültige Aussageform: LA = DA
Unlösbare Aussageform: LA = ∅
Verknüpfungen:
∧ (UND)
∨ (ODER)
¬ (NICHT)
⇒ (Implikation)
⇔ (Äquivalenz)
A
w
w
f
f
B
w
f
w
f
A∧B A∨B
w
w
f
w
f
w
f
f
¬A A⇒B A⇔B
f
w
w
f
f
f
w
w
f
w
w
w
Rechenregeln (Auswahl):
A ∧ B = B ∧ A, A ∨ B = B ∨ A (Kommutativgesetz)
( A ∧ B ) ∧ C = A ∧ ( B ∧ C ), ( A ∨ B ) ∨ C = A ∨ ( B ∨ C ) (Assoziativgesetz)
A ∧ ( B ∨ C ) = ( A ∧ B) ∨ ( A ∧ C ), A ∨ ( B ∧ C ) = ( A ∨ B) ∧ ( A ∨ C )
(Distributivgesetz)
A ∧ (¬A) ist immer f, A ∨ (¬A) ist immer w
¬(¬A) = A (doppelte Negation)
¬( A ∧ B ) = (¬A) ∨ (¬B ), ¬( A ∨ B) = (¬A) ∧ (¬B) (de MORGANsche Regel)
A ⇒ B = ( A ∧ B) ∨ (¬A)
A ⇔ B = ( A ∧ B) ∨ ((¬A) ∧ (¬B))
Wiederholung Mengenlehre:
Menge: Zusammenfassung unterscheidbarer Objekte (Elemente)
keine Reihenfolge der Elemente vorgegeben
Teilmenge B ⊆ A : Alle Elemente von B gehören auch zu A
Echte Teilmenge B ⊂ A : B ⊆ A und (mind.) ein Element von A gehört
nicht zu B
Spezielle Mengen (Zahlenbereiche): , 0 , , , , + , +0 , Darstellungsformen:
(Aufzählung der Elemente)
A = {a, b, c,…}
A = {x ∈ 3 | A(x) ist w} (Beschreibung durch charakterisierende Eigenschaft)
A
(Mengendiagramm)
Intervalle:
Abgeschlossenes Intervall: [a,b] = {x ∈ 3 | a ≤ x ≤ b}
Offenes Intervall:
(a,b) = {x ∈ 3 | a < x < b}
Mengenalgebra:
Durchschnitt: A ∩ B = {x x ∈ A ∧ x ∈ B}
B
A
Vereinigung: A ∪ B = {x x ∈ A ∨ x ∈ B}
Komplement: A = {x x ∉ A}
Mengendifferenz: A \ B = {x ∈ A x ∉ B}
A
B
A
B
A
Rechenregeln: analog den Regeln der Aussagenlogik
Potenzmenge einer Menge A: Menge aller Teilmengen von A
Produkt zweier Mengen: A × B = {(a, b) ∈ A a ∈ A, b ∈ B}
Spezialfall A × A = A2 , A × A × A = A3 usw.,
z. B. 3 = {(x1,x2,x3) | xi ∈ , i = 1,2,3}
Aufgaben:
1. Geben Sie die Negationen der folgenden Aussagen an, vermeiden
Sie dabei möglichst das Wort „nicht“:
A: „Das Wasser ist heiß.“
B: „–5 ist eine negative Zahl.“
C: „–4 ist keine negative Zahl.“
D: „2 ist größer als –3.“
2. Zeigen Sie mit Hilfe einer Wahrheitswerttabelle, dass die folgenden
Aussagen logisch äquivalent sind:
a) A ∧ B und ¬((¬A) ∨ (¬B)) (de MORGANsche Regel)
b) A ⇒ B und (¬B) ⇒ (¬A) (Prinzip des indirekten Beweises)
c) ( A ∧ C ) ∨ ( B ∧ C ) und ( A ∨ B ) ∧ C (Distributivgesetz)
3. Beweisen Sie folgende Äquivalenz mittels der Rechenregeln für die
Verknüpfung von Aussagen:
A ∧ ( A ⇒ B) ist äquivalent zu A ∧ B
4. Gegeben sind die Mengen
A = {1, 2,5,7} und B = {2,3, 4,7,8}
Bilden Sie daraus folgende Mengen:
A ∪ B, A ∩ B, A \ B, B \ A, A × B
5. Überprüfen Sie anhand von Mengendiagrammen das Distributivgesetz A ∪ ( B ∩ C ) = ( A ∪ B ) ∩ ( A ∪ C ) !
6. Gegeben sind zwei Intervalle I1 und I2. Füllen Sie folgende Tabelle:
I1
[-4,1)
(1,5)
[-2,3)
I2
[0,7)
(2,3]
(-4,-2]
I1 ∪ I 2
I1 ∩ I 2
I1 \ I 2
I 2 \ I1