Elementare Logik und Beweise - Institut für Mathematik und

ELEMENTARE DISKRETE MATHEMATIK
Kapitel 2:
Elementare Logik und Beweise
MAA.01011UB
MAA.01011PH
Vorlesung mit Übung im WS 2016/17
Christoph GRUBER
Günter LETTL
Institut für Mathematik und wissenschaftliches Rechnen
an der Karl-Franzens-Universität Graz
Institut für Allgemeinbildende Fächer der Sekundarpädagogik
an der Pädagogischen Hochschule Steiermark
Elementare Logik
Eine (mathematische oder logische) Aussage ist entweder wahr
oder falsch.
Eine (mathematische oder logische) Aussageform (oder Prädikat)
enthält eine (oder mehrere) freie Variablen (= Unbestimmte).
Durch Einsetzen konkreter Werte für die Variablen entsteht aus
einer Aussageform eine Aussage, die dann entweder wahr oder
falsch ist.
Operationen mit Aussagen (= logische Verknüpfungen):
Aus (ein oder zwei) Aussagen wird eine neue Aussage gebildet.
Für das Folgende seien
Negation:
¬A
(,,nicht
A
und
A,
B
,,non
(irgendwelche) Aussagen.
A)
ist die Aussage, die genau dann wahr ist, wenn
A
falsch ist.
Konjunktion:
A∧B
(,,A und
B )
ist die Aussage, die genau dann wahr ist, wenn sowohl
B
A
als auch
wahr sind.
Disjunktion:
A∨B
(,,A oder
B )
ist die Aussage, die genau dann wahr ist, wenn
A
wahr ist oder
B
wahr ist (oder beide).
Implikation:
(,,aus A folgt B , ,,A impliziert B ,
A , ,,A ist hinreichend für B )
genau dann wahr ist, wenn A falsch ist
A⇒B
,,B ist notwendig für
ist die Aussage, die
oder
B
wahr ist.
Äquivalenz:
A⇔B
(,,A und
,,A gilt genau dann, wenn
hinreichend für
B
B
sind (logisch) gleichwertig ,
gilt ,
,,A ist notwendig und
B )
ist die Aussage, die genau dann wahr ist, wenn
beide wahr oder beide falsch sind.
A
und
B
entweder
Beispiel 2.1:
Zeigen Sie mittels einer Wahrheitstafel, dass für
beliebige Aussagen
M
und
N
gilt:
M ⇔ N ⇔ (M ⇒ N ) ∧ (N ⇒ M)
Die logischen Operationen können auch für Aussageformen
verwendet werden! (Was bedeutet dies genau?)
Beispiel 2.2:
x ∈ R betrachten wir die Aussageformen
G(x) = (x ∈ Z) ∧ (x > −2/3) und H(x) = x ∈ N .
Für
Zeigen Sie, dass für alle
x ∈R
gilt:
Was haben wir damit bewiesen?
G(x) ⇔ H(x).
Logische Quantoren:
machen aus Aussageformen eine Aussage.
M eine Menge
Elemente x ∈ M .
Es seien
und
A
eine Aussageform für beliebige
∀x ∈ M : A ist wahr genau dann,
x ∈ M die Aussage A(x) wahr ist.
Die Aussage
Elemente
wenn für alle
∃x ∈ M : A ist wahr genau dann, wenn es
x ∈ M gibt, für das die Aussage A(x) wahr ist.
kann/darf auch mehrere solche x geben!)
Die Aussage
ein
Element
(Es
Beispiel 2.3:
Für
x, y ∈ R
sei die Aussageform
A= x ≤y
gegeben. Welche der folgenden Aussagen sind wahr bzw. falsch:
∀x ∈ R : ∀y ∈ R : A
∀y ∈ R : ∃x ∈ R : A
∀x ∈ R : ∃y ∈ R : A
∃x ∈ R : ∀y ∈ R : A
∃y ∈ R : ∀x ∈ R : A
∃y ∈ R : ∃x ∈ R : A
Denition (2.1) (Mengenrelationen und -operationen mit
logischen Symbolen)
a)
Es seien
M
und
N
beliebige Mengen. Wir denieren:
def
(M ⊂ N) ⇐⇒ ∀x ∈ M : x ∈ N
def
(M = N) ⇐⇒ (∀x : x ∈ M ⇔ x ∈ N)⇔ (M ⊂ N) ∧ (N ⊂ M)
M ∩ N = {x | x ∈ M ∧ x ∈ N}
M ∪ N = {x | x ∈ M ∨ x ∈ N}
M \ N = {x ∈ M | x ∈
/ N}
Denition (2.1) (Fortsetzung)
b)
Es sei
I
eine nichtleere Menge, und für jedes
i ∈I
sei
Mi
eine
Menge. Dann heiÿt
\
Mi = {x | ∀i ∈ I : x ∈ Mi }
i∈I
die Durchschnittsmenge der Familie von Mengen
[
(Mi )i∈I ,
Mi = {x | ∃i ∈ I : x ∈ Mi }
i∈I
die Vereinigungsmenge der Familie von Mengen
Beispiel 2.4:
für
I = N:
Beschreiben Sie die folgenden Mengen:
S
{−n, n}
n∈I
für
(Mi )i∈I .
I = R+ = {x ∈ R | x > 0}:
T
x∈I
[0, x]
und
Beweise
Typischer logischer Aufbau eines mathematischen Satzes:
I. Vereinbarungen:
Angabe der verwendeten Begrie/Objekte/
Bezeichnungen
II. Voraussetzung:
Aussage
A,
die für die verwendeten Objekte
wahr sein soll
III. Behauptung:
Aussage
B , deren Wahrheit bewiesen werden soll
Beweisvorgang:
Wir nehmen an, dass
A
Richtigkeit der Aussage
richtig ist, und versuchen damit, die
B
herzuleiten.
Logischer Beweisaufbau:
A ∧ (A ⇒ B) ⇒ B
Praktische Hilfsmittel zum Beweis (in logischer Sprache):
A, B
und
C
seien Aussagen.
*) Schrittweises Schlieÿen:
(A ⇒ C) ∧ (C ⇒ B) ⇒ (A ⇒ B)
*) Indirekter Beweis: (¬B ⇒ ¬A) ⇔ (A ⇒ B)
Wir nehmen an, dass
dass dann
A
B
falsch ist, und versuchen damit zu zeigen,
auch falsch ist.
*) Beweis durch Widerspruch: ¬(¬B ∧ A) ⇔ (A ⇒ B)
Wir nehmen an, dass
A
und
¬B
beide richtig sind, und versuchen
damit auf einen Widerspruch (eine falsche Aussage) zu kommen.
Beispiel 2.5:
Beweis von Beispiel 1.10
Für beliebige Mengen
wenn
......
.
X
und
Y
gilt
X ×Y =Y ×X
genau dann,
Satz (2.1) (Rechenregeln für Mengenoperationen)
Für (beliebige) Mengen
A, B
und
C
gelten die folgenden Aussagen:
Kommutativgesetze:
A∪B =B ∪A
A∩B =B ∩A
Assoziativgesetze:
A ∪ (B ∪ C ) = (A ∪ B) ∪ C
A ∩ (B ∩ C ) = (A ∩ B) ∩ C
Distributivgesetze:
A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C )
A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C )
De Morgan'sche Regeln:
A \ (B ∪ C ) = (A \ B) ∩ (A \ C )
A \ (B ∩ C ) = (A \ B) ∪ (A \ C )
Beispiel 2.6: Beweisen Sie, dass für beliebige
a) A ⊂ A ∪ B ,
A ∩ B ⊂ A, A \ B ⊂ A
Mengen
A und B
gilt:
b) (A \ B) ∪ (B \ A) = (A ∪ B) \ (A ∩ B)
Beispiel 2.7:
Zeigen Sie, dass für beliebige Mengen
A
und
M
je 2
der folgenden 4 Aussagen zueinander äquivalent sind:
A1 = A ⊂ M
,
A4 = A \ M = ∅
Beispiel 2.8:
A2 = A ∪ M = M
,
A3 = A ∩ M = A
,
.
Zeigen Sie, dass für beliebige Mengen
P(M) ∩ P(N) = P(M ∩ N)
und
M
und
gilt:
P(M) ∪ P(N) ⊂ P(M ∪ N) .
Suchen Sie Bedingungen, unter denen in der zweiten Formel
Mengengleichheit gilt!
N