Kombinatorik Daniela Andrade 9.1.2017

TU1
Mengenlehre
Daniela Andrade
[email protected]
23.10.2017
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Kleine Anmerkung
Meine Folien basieren auf den DS Trainer von Carlos Camino, den ihr auf
www.carlos-camino.de/ds findet ;)
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TA 1:
KV-Diagramme
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Mengen
Zusammenfassung von bestimmten wohl-unterschiedenen Objekten.
Wichtig ist:
geschweifte Klammern {. . .}
irrelevante Reihenfolge der Elemente
irrelevente Anzahl an Kopien desselben Elements
beliebige Elemente einer Menge erlaubt (z.B. auch Mengen)
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Operationen
Die wichtigsten Operationen auf Mengen sind:
A
:=
{x ∈ Ω | x ∈
/ A}
(Komplement)
A∩B
:=
{x ∈ Ω | x ∈ A und x ∈ B}
(Schnitt)
A∪B
:=
{x ∈ Ω | x ∈ A oder x ∈ B}
(Vereinigung)
A\B
:=
{x ∈ Ω | x ∈ A und x ∈
/ B}
(Differenz)
A4B
:=
{x ∈ Ω | entweder x ∈ A oder x ∈ B}
(symmetrische Differenz)
∩ und ∪ sind assoziativ.
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Infos
Graphische Bedeutung der zweistellingen Operationen ∩, ∪, \ und 4:
U A
B
A∩B
U A
B
A∪B
U A
B
A\B
U A
B
A4B
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Graphische Darstellung: Venn-Diagramme
Das Universum Ω durch n Mengen A1 , . . . , An wird in genau 2n Bereichen aufgeteilt.
1 Bereich
2 Bereiche
4 Bereiche
8 Bereiche
16 Bereiche
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Graphische Darstellung: KV-Diagramme
KV-Diagramme sind übersichtlicher als Venn-Diagramme. Hier wird das Universum in 2n gleichgroße
Quadrate aufgeteilt.
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KV-Diagramme für zwei Mengen
Seien A, B, ⊆ Ω beliebige Mengen über das Universum Ω.
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KV-Diagramme für drei Mengen
Seien A, B, C ⊆ Ω beliebige Mengen über das Universum Ω.
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TA 2:
Mengengleichungen
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Rechenregeln für Mengen
Seien A, B, C ⊆ Ω beliebige Mengen über das Universum Ω.
A∩Ω=A
A∪∅=A
(Identität)
A∪Ω=Ω
A∩∅=∅
(Dominanz)
A∪A=A
A∩A=A
(Idempotenz)
A∩B =B∩A
(Kommutativität)
(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C )
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C )
(Assoziativität)
A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C )
A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C )
(Distributivität)
(A ∩ B) = A ∪ B
(A ∪ B) = A ∩ B
(De Morgan)
A∪A=Ω
A∩A=∅
(Ω und ∅)
A=A
A∪B =B∪A
(Doppeltes Komplement)
A\B =A∩B
(Differenz)
A4B = (A \ B) ∪ (B \ A)
(symmetrische Differenz)
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TA 3:
Einbettung der natürlichen Zahlen
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Kardinalität
Die Kardinalität oder Mächtigkeit |A| einer Menge A gibt die Anzahl der Elemente in A an.
Beispiele
Es gilt:
|{3, 4, 5}|
|{{2}, {3, 4, 5}}|
|{}|
|{{}}|
=
=
=
=
3,
2,
0,
1
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Potenzmenge
P(A) ist die Menge aller Teilmengen von A, also:
P(A) := {X | X ⊆ A}
und für jede endliche Menge A gilt: |P(A) | = 2|A| .
Beispiele
Es gilt:
P(∅)
= {∅},
P({1})
= {∅, {1}},
P({1, 2}) = {∅, {1}, {2}, {1, 2}},
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Kartesisches Produkt
Für ein beliebiges n ∈ N gilt:
A1 × . . . × An := {(a1 , . . . , an ) | a1 ∈ A1 , . . . , an ∈ An }
Beispiel
Für A = {a, b}, B = {c}, C = {d, e, f } gilt:
A × B × C = {(a, c, d), (a, c, e), (a, c, f ), (b, c, d), (b, c, e), (b, c, f )}
Info
Falls |A1 |, . . . , |An | < ∞, dann gilt immer:
|A1 × . . . × An | = |A1 | · . . . · |An |.
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