Mengenlehre

Mengenlehre
De…nition
Eine Menge ist die Zusammenfassung von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten zu einem
Ganzen. Die Objekte werden Elemente der Menge genannt.
Schreibweise:
x 2 M - x ist Element von M
x 62 M - x ist nicht Element von M
;
- leere Menge (enthält keine Elemente)
Beschreibung der Mengen durch:
² verbale Beschreibung ihrer Elemente
z.B.: S - Menge aller Studenten der FH Jena
² Au‡istung der Elemente
z.B.: M = f1; 2; 5; 9g
² Angabe der de…nierenden Eigenschaften ihrer Elemente
z.B.: M = fx : x 2 R; x2 ¡ 2 = 0g
Keine Menge ist:
”Menge” aller Wassertropfen im Weltmeer (Wie sollte man wohl Wassertropfen im Meer unterscheiden können?)
Zusammenhang mit Logik
P (x) ¡ "x 2 M"
Eine Menge M de…niert eine Aussageform P(x)
M = fx : P (x) ist wahrg
Eine Aussageform P(x) de…niert eine Menge M
Relationen zwischen Mengen
A heißt Teilmenge von B (A µ B); wenn jedes Element x 2 A auch Element von B ist, d.h.
A µ B () 8x : x 2 A ) x 2 B
Zwei Mengen A und B heißen gleich (A = B), wenn A µ B und B µ A:
A = B () A µ B ^ B µ A:
Operationen mit Mengen
Seien A und B Mengen.
Vereinigung
A [ B = fx : x 2 A _ x 2 Bg
Durchschnitt
A \ B = fx : x 2 A ^ x 2 Bg
Falls A \ B = ;; heißen A und B disjunkt
Di®erenz
A n B = fx : x 2 A ^ x 2
= Bg
Komplement
A = fx : x 2
= Ag
Produkt
A £ B = f(x; y) : x 2 A ^ y 2 Bg
Bem: (x; y)- geordnetes Paar
(x0; y0 ) = (x1; y1) , x0 = x1 ^ y0 = y1
Die Mengenoperationen kann man an Punktmengen in der Ebene veranschaulichen:
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Wichtige Abkürzungen
N
- natürliche Zahlen
Z
- ganze Zahlen
Q
- rationale Zahlen
R
R2 = R £ R
- reelle Zahlen
- Punkte der Ebene
Intervalle
Seien a; b 2 R
(a; b)
=
[a; b]
=
[a; b)
=
(¡1; b] =
Beispiele
fx 2 R : a < x < bg
fx 2 R : a · x · bg
fx 2 R : a · x < bg
fx 2 R : ¡1 < x · bg
N = f1; 2; 3; ¢ ¢ ¢g
Z = f¢
½ ¢ ¢ ; ¡2; ¡1; 0; 1; 2; ¢ ¢ ¢g ¾
p
Q = r : r = ; p 2 Z; q 2 N
q
o¤enes Intervall
abgeschlossenes Intervall
halbo¤enes Intervall
unendliches Intervall
² Seien A = fx 2 R : (x + 1) (x ¡ 2) = 0g ; L = f¡1; 2g
Dann gilt: L = A (Lösungsmenge der Gleichung (x + 1) (x ¡ 2) = 0)
² Es gilt: N µ Z µ Q µ R
² Seien A = (¡2; 1) ; B = [0; 3]
) A \ B = [0; 1) ; A [ B = (¡2; 3] ;
A n B = (¡2; 0)
Erläuterung am Zahlenstrahl:
² Man negiere die Aussage x 2 A [ B
De Morgan
x 2A[B , x2 A_x2 B
, x 2 A^x2 B ,x2
= A^x 2
=B
Zusammengefaßt: x 2
= A [B , x 2
= A^x2
=B
In der Punktebene veranschaulicht:
² Man skizziere die Menge G = f(x; y) 2 R £ R : x · y + 1g
(x; y) 2 R £ R können als Punkte der Ebene interpretiert werden. Wir formen zunächst die
Ungleichung x · y + 1 äquivalent um. Es gilt:
x · y +1 , y ¸ x ¡1 ,y = x¡ 1 _ y > x ¡1
| {z }
Geradengl.
Die Gerade y = x ¡ 1 gehört zur Menge.
Da y > x ¡ 1 gehören die Punkte oberhalb der
Geraden ebenfalls zur Menge G.
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