+ 1 q ln(ε-qbq) = ln(ab).

1.1
ln
1
1 p p 1 −q q 1
ε a + ε b ≥ ln(εp ap ) + ln(ε−q bq ) = ln(ab).
p
q
p
q
1.2 Auf jeden der Terme auf der rechten Seite lässt sich die Youngsche-Ungleichung
mit ε = 1/2 und ε = 2 anwenden
√
√
√ √ √
1
1
a b = a · a b ≤ a + ab, a b ≤ a2 + b,
4
4
√ √ √
√
√
1
1
b a = b · b a ≤ b + ab, b a ≤ b2 + a.
4
4
Nach Summieren über diese vier Ungleichungen und Teilen durch 2 steht das gewünschte Ergebnis da.
1.3 Zu x, y ∈ X gibt es Umgebungen Ux und Vy mit Ux ∩ Vy = ∅. Der Durchschnitt
der abgeschlossenen Mengen Vyc enthält nur den Punkt x. Damit sind einelementige
Mengen abgeschlossen, die endliche Vereinigung von einelementigen Mengen ebenfalls.
1.4 Die konstanten Abbildungen sind immer stetig. Für τX = P(X) sind alle Abbidungen stetig, ebenso für τY = {∅, Y }.
1.5 Ist das Intervall offen und halbbeschränkt, können wir es durch eine lineare
Funktion auf (0, ∞) abbilden und dann den ln : (0, ∞) →
anwenden. Ist das
Intervall offen und beschränkt, so nehmen wir das Intervall (−π/2, π/2) und den
tan : (−π/2, π/2) → .
Ein abgeschlossenenes, beschränktes Intervall ist kompakt. Jede stetige Funktion
auf einem solchen Intervall ist beschränkt.
R
R
1.6 Die Eigenschaft, dass das Komplement einer offenen Menge endlich ist, bleibt
bei Vereinigungen und endlichen Durchschnitten erhalten. Der Raum ist nicht hausdorffsch, weil zu x 6= y nicht beide Umgebungen U (x) und U (y) offen sein können.
Einpunktige Mengen sind abgeschlossen, weil eine Menge ohne einen einzelnen Punkt
offen ist.
Besteht eine Folge aus abzählbar vielen verschiedenen Elementen, so ist jeder
Punkt von X Berührpunkt, weil dann jede Umgebung unendlich viele Folgenglieder
enthält. Gibt es genau einen Punkt, der in der Folge unendlich oft vorkommt, so ist
die Folge gegen diesen konvergent. Gibt es mindestens zwei Punkte, die in der Folge
unendlich oft vorkommen, so ist die Folge nicht konvergent. Andernfalls ist sie gegen
jedes Element konvergent.
Gibt es nur endlich viele verschiedene Folgenglieder, so sind nur die Folgenglieder
Berührpunkte, weil eine endliche Menge abgeschlossen ist. Konvergenz gibt es nur
dann, wenn die Folge ab einem Index konstant ist.