Vorbereitungsfragen

Tutor: Martin Friesen
Lösungen
Vorbereitungsfragen - Folgen und Reihen
Sommersemester 2010 Analysis I Prof. PhD. Hemion
2. Finden Sie eine Lösung x ∈ Z von 2x ≡ 1 mod 7
Setze x = 4 + 7k mit k ∈ Z damit bekommen wir unendlich viele Lösungen
wegen:
2x = 2(4 + 7k) = 8 + 14k ≡ 8 ≡ 1 mod 7
4. Finden Sie a, b ∈ Z mit 7a + 13b = 1
13 = 1 · 7 + 6 ⇔ 6 = 13 − 1 · 7
7 = 1 · 6 + 1 ⇔= 1 = 7 − 1 · 6 = 7 − 1 · (13 − 1 · 7) = 2 · 7 − 13
5. Zeigen Sie durch Induktion über n ∈ N das gilt:
dieses auch ohne Induktion beweisen?
n
X
k=1
Pn
1
k=1 k(k+1)
=
n
n+1
Können Sie
n
X1
1
1
1
=
=
−
=1−
k(k + 1) k=1 k k + 1
n+1
10. Wie ist die Konvergenz für eine Folge (an )n∈N reeler Zahlen definiert? Geben
sie ein Beispiel für eine konvergente bzw. divergente Folge an.
Die Folge an = (−1)n ist zwar beschränkt jedoch divergent. Die Folge bn = n1 ist
beschränkt und konvergent.
12. Zeigen Sie, dass eine konvergente Folge auch beschränkt ist.
Sei ε = 1, es gibt N ∈ N mit: |an − a| < 1, ∀n ≥ N .
Also ist: a − 1 < an < a + 1, ∀n ≥ N . Die verbliebenen endlich vielen Glieder sind
offensichtlich auch beschränkt und somit die ganze konvergente Folge (an )n∈N ⊂ R
15. Gibt es Cauchy Folgen welche nicht konvergieren? Wenn ja können Sie eine
finden? Wenn nein können Sie dieses beweisen?
Hierbei kommt es auf den Raum an in welchem man sich befindet. Beschränken
wir uns auf Q so finden wir Folgen, welche zwar Cauchy sind, jedoch nicht in Q
konvergieren. Bei den reellen Zahlen passiert dieses nicht, dh. R ist vollständig.
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(Jede Cauchyfolge in R konvergiert in R.
16. Formulieren Sie die Grenzwertsätze für Folgen. Geben Sie ein Beispiel an wo
man diese nicht anwenden darf.
Betrachte die Folgen: an = n, bn = n1 ⇒ an bn = 1, jedoch konvergiert (an ) nicht.
18. Was bedeutet anschaulich die Definition der Konvergenz von Folgen?
Die Folgenglieder kommen dem Grenzwert beliebig genau. Dh. der Abstand der
Folgenglieder zum Grenzwert wird beliebig klein.
19. Welcher Zusammenhang besteht zwieschen Reihen und Folgen? Wie bekommt
man aus einer Reihe eine Folge?
n
P
Setze: sn :=
an , dieses ist die Folge der Partialsummen. Die Reihe heißt konk=1
vergent, wenn die Folge der Partialsummen konvergiert.
P
20. Was bedeutet: Für eine Folge (an )n∈N reeler Zahlen sei: ∞
k=1 ak ∈ R?
Die Folge der Partialsummen ist konvergent.
Pn
k
21. Wieso konvergiert die Folge der Partialsummen: Sn :=
k=0 (−1) nicht?
Gibt es konvergente Teilfolgen?
Man betrachte bei der Folge der Partialsummen die geraden und ungeraden Folgenglieder, diese haben verschiedene Grenzwerte.
23. Wie lautet das Leibnitz Kriterium? Zeigen Sie auf 2 verschiedenen Weisen,
P
100000000(−1)k+100
∈ R gilt.
dass ∞
k=1
k2
Der einfachere Weg ist direktes Nachrechnen:
∞
X
100000000(−1)k+100
k2
k=1
= 100000000(−1)100
∞
X
π2
1
=
100000000
k2
2
k=1
Mit dem Leibnitzkriterium sehen wir, dass die Folge monoton fallend ist. Also ist
diese konvergent.
24. Formulieren Sie, dass Quotientenkriterium. Finden Sie 3 Reihen für welche
dieses Kriterium keine Konvergenzaussage trifft.
Betrachte die Polynome P, T . Es habe P keine Nullstellen auf x > 1, für die Folge
an := PT (n)
wird das Quotientenkriterium keine Aussage liefern können.
(n)
28. Ist die Folge an := sin(nπ)nn , n ∈ N konvergent?
an = sin(nπ)nn = 0 · nn = 0
29. Sei x :=
P∞
k=0
π k (−1)k
.
(2k)!
Was ist x?
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x=
∞
X
π k (−1)k
k=0
(2k)!
√
∞
X
√
( π)2k (−1)k
=
= cos( π)
(2k)!
k=0
30. Stimmen diese Aussagen?
Jede Cauchy Folge in R ist konvergent. Ja
Eine nach oben beschränkte Folge reeller Zahlen, welche monoton fallend ist, ist
auch konvergent. Nein, an = −n
Die Folge der Partialsummen der harmonischen Reihe ist nach unten beschränkt.
Ja, aber nicht nach oben
Jede absolut konvergente Reihe ist konvergent. Ja
Es gibt eine konvergente Folge reeller Zahlen, welche 2 verschiedene Häufungspunkte
hat. Nein
Es gibt eine Folge, welche Konvergiert, jedoch keinen Häufungspunkt hat. Nein
Es gibt keine Folge, welche keinen Häufungspunkt hat. Je nachdem ob unendlich
auch als Häufungspunkt zugelassen wir, ja oder nein.
Die rationalen Zahlen sind überabzählbar. Nein, jedoch die reellen Zahlen
31. Ist jede Folge in [0,1], welche eine Cauchy Folge ist, auch konvergent? Ja
32. Gibt es eine Folge, welche nach oben und nach unten unbeschränkt ist?
an = (−1)n · n
√
√
33. Ist die Folge an := n + 1 − n konvergent?
√
√ √
√
√
√
n+1−n
( n + 1 − n)( n + 1 + n)
√
=√
n+1− n=
√
√ →0
n+1+ n
n+1+ n
P
√1
34. Stellt diese Reihe eine reelle Zahl dar? ∞
k=1 k
Nein die harmonische Reihe ist eine divergente Minorante wegen: k1 ≤ √1k
P
35. Wieso gilt folgendes? Eine Reihe ∞
k=1 ak stellt genau dann eine reelle Zahl
P
dar(konvergiert also), wenn gilt: ∀ε > 0∃N ∈ N so, dass gilt: | m
k=n ak | < ε ,
∀m ≥ n ≥ N .
Das ist die Definition einer Cauchyfolge angewendet auf die Folge der Partialsummen.
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