,,Analysis 1” 6.¨Ubungsblatt Hausaufgaben

Institut für Angewandte Mathematik
WS 2013/14
Prof. Karl-Theodor Sturm, Dr. Sebastian Andres
,,Analysis 1”
6. Übungsblatt
Abgabe bis Dienstag 26.11.2013 in der Vorlesungspause
Hausaufgaben
Aufgabe 1
[5 Pkt ]
i) Zeigen Sie, dass beschränkte Folgen mit genau einem Häufungspunkt in R konvergent
sind.
ii) Finden Sie eine Folge mit genau einem Häufungspunkt in R, die nicht konvergent ist.
Aufgabe 2
P
Es seien n an konvergent und (bn ) eine beschränkte Folge.
i) Es sei an ≥ 0 für alle n ∈ N. Zeigen Sie, dass dann auch
[5 Pkt ]
P
n
an bn konvergent ist.
ii) Gilt die Aussage aus i), falls an auch negativ sein darf?
Aufgabe 3
[5 Pkt ]
Für strikt positive Zahlen a und b sind das arithmetische, geometrische und harmonische
Mittel definiert durch
√
a+b
2ab
A(a, b) :=
, G(a, b) := ab, H(a, b) =
.
2
a+b
i) Zeigen Sie, dass
H(a, b) ≤ G(a, b) ≤ A(a, b)
gilt und dass H(a, b) = G(a, b) oder G(a, b) = A(a, b) nur im Fall a = b gelten kann.
ii) Es seien 0 < a < b und (an )n≥1 , (bn )n≥1 und (In )n≥1 definiert durch
a1 := a,
b1 := b,
an := H(an−1 , bn−1 ),
bn := A(an−1 , bn−1 ),
n ≥ 2,
sowie In := [an , bn ], n ≥ 1. Zeigen Sie, dass (In )n≥1 eine Intervallschachtelung ist,
dass also insbesondere limn→∞ (bn −an ) = 0 gilt.
√ Zeigen
T∞Sie außerdem, dass an bn = ab
für alle n ≥ 1 gilt und dass daraus wiederum ab ∈ n=1 In folgt.
1
Aufgabe 4
Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz:
P∞
1
√
i)
,
n=1
[5 Pkt ]
(2n−1)(2n+1)
ii)
P∞
n=0
an , wobei (an )n≥0 definiert ist durch
a2n := −
iii)
P∞
n=1
1
, n ≥ 0,
2n
a2n−1 :=
1
, n ≥ 1,
n
(−1)n
√
nn .
Präsenzaufgaben
Aufgabe 5
Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz:
i)
∞
X
n=1
iii)
∞
X
n=1
n
,
2n − 1
[0 Pkt ]
∞
X
1
,
2
(2n
−
1)
n=1
√
∞
X
nn n n
.
iv)
nn (1 + n12 )n
n=1
ii)
1
√ ,
n n
Hinweis zu iii): Zeigen Sie, dass die Partialsummen S2k +1 durch
1
√
2 2
+
p
√1
p=0
P∞ 21
n=1 n1+ε ,
Pk
beschränkt sind. Auf die gleiche Art und Weise kann auch die Konvergenz von
ε > 0 nachgewiesen werden.
Information von der Fachschaft Mathematik:
Die Fachschaft Mathematik feiert am 28.11. ihre Matheparty im Carpe Noctem. Der
VVK findet am Mo. 25.11., Di. 26.11. und Mi. 27.11. in der Mensa Poppelsdorf statt. Alle
weiteren Infos auch auf unserer Internetseite.
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