8. ¨Ubung zur ”Analysis 1”
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INSTITUT FÜR MATHEMATIK DER UNIVERSITÄT WÜRZBURG
M. Dobrowolski
Würzburg, den 17.6.2013
8 . Übung zur ”Analysis 1”
8.1 Man beweise oder widerlege durch Gegenbeispiel:
a) Hat von einer reellen Zahlenfolge (an ) jede Teilfolge eine konvergente Teilfolge,
so ist die Folge konvergent.
P
P∞ 2
b) Ist die reelle Reihe ∞
n=0 an konvergent, so ist auch
n=0 an konvergent.
P∞ 2
P∞ 2
P
c) Sind die reellen Reihen n=0 an und n=0 bn konvergent, so ist die Reihe ∞
n=0 an bn
absolut konvergent.
d) Eine stetige und beschränkte Funktion f : [0, ∞) →
e) Die Funktion f :
R ist gleichmäßig stetig.
R → R erfülle für ein α > 0 und einer Konstanten c ≥ 0
|f (x) − f (y)| ≤ c|x − y|α für alle x, y ∈ R.
Dann ist f gleichmäßig stetig.
C → C stetig, so ist h(z) = f (g(z)) auf C stetig.
Für c ∈ C betrachte die Iteration
zn+1 = zn2 + c für n ∈ N, z0 = 0.
f) Sind f, g :
8.2
Die Mandelbrot-Menge M ist definiert durch
M = {c ∈
C : Die Folge (zn) ist beschränkt}.
Man zeige: M ⊂ {|z| ≤ 2}. Oder anders und präziser ausgedrückt: Für |c| > 2
divergiert die Folge (|zn |) bestimmt gegen unendlich.
8.3 Bestimmen Sie die Partialbruchzerlegung der folgenden komplexen rationalen
Funktionen
a)
1
z3
−
iz 2
−z+i
,
b)
z−1
.
z4 + z2
8.4PGegeben sei eine Folge (an ) P
komplexer Zahlen mit arg(an ) ≤ α < π2 . Man zeige:
Ist
Re (an ) konvergent, so ist
an absolut konvergent.
