Funktionalanalysis 1 - Fachrichtung Mathematik

Fachrichtung Mathematik
Institut für Analysis
Prof. Dr. J. Voigt
WS 2004/2005
Blatt 4
Funktionalanalysis 1
1. (a) Seien C[0, 1], C 1 [0, 1] beide mit der Supremumnorm versehen. Zeigen Sie:
Der Ableitungsoperator D : C 1 [0, 1] → C[0, 1] mit Df := f 0 ist linear, aber
nicht beschränkt.
∞ P
∞
P
(b) Sei (tij )i,j=1,2,... eine unendliche Matrix reeller Zahlen mit
t2ij < ∞.
i=1 j=1
Für x = (xj ) ∈ `2 sei T x := y = (yi ) mit yi :=
∞
P
tij xj (i ∈ N). Zeigen Sie:
j=1
(i) Die das Element yi definierende Reihe ist konvergent (i ∈ N), T x ∈ `2 .
(ii) T : `2 → `2 ist linear und beschränkt.
(c) Sei C[a, b] mit der Supremumnorm versehen. Bestimmen Sie die Norm des
Rb
linearen Funktionals F : C[a, b] → K mit F (x) := x(t) dt, x ∈ C[a, b].
a
(d) Der Differenzenoperator D ist definiert durch D(x) := (x2 − x1 , x3 − x2 , . . .)
für x = (xk )k∈N ∈ `∞ . Zeigen Sie, dass D : `∞ → `∞ gilt, und berechnen Sie
die Norm von D.
(e) Sei C[a, b] mit der Supremumnorm versehen, und f ∈ C[a, b] sei fest gewählt. Der Multiplikationsoperator Mf : C[a, b] → C[a, b] ist definiert durch
(Mf x)(t) := f (t)x(t) für t ∈ [a, b]. Bestimmen Sie kMf k.
2. (a) Sei 1 ≤ p < ∞, X := `p . Für λ = (λn ) ∈ `∞ , x = (xn ) ∈ X sei Tλ x := (λn xn ).
Zeigen Sie:
(i) Tλ ∈ L(X);
(ii) kTλ k = kλk∞ ;
(iii) Tλ ∈ K(X) ⇐⇒ λ ∈ c0 .
(b) Sei X = c0 . Finden Sie T ∈ L(X) mit kT xk < kT k für alle x ∈ SX .
3. Sei S ein kompakter topologischer Raum, F ⊆ C(S). Beweisen Sie:
F relativ kompakt =⇒ F gleichgradig stetig.
4. Sei k : [0, 1] × [0, 1] → K stetig. Zeigen Sie:
(a) Die Abbildung [0, 1] 3 s 7→ k(·, s) ∈ C[0, 1] ist stetig.
R1
(b) Durch T f (t) := k(t, s)f (s) ds (0 ≤ t ≤ 1) ist ein Operator T ∈ K(C[0, 1])
0
definiert.
(c) Durch Sf (t) :=
Rt
k(t, s)f (s) ds (0 ≤ t ≤ 1) ist ein Operator S ∈ K(C[0, 1])
0
definiert.
Hausaufgaben: Die Aufgaben 1(a),(c),(e) und 4(a),(b) sind am 11.11.04 zur 4. DS
abzugeben.