Funktionalanalysis 1

Fachrichtung Mathematik
Institut für Analysis
Prof. Dr. J. Voigt
WS 2004/2005
Blatt 6
Funktionalanalysis 1
1. Zeigen Sie die Äquivalenz folgender Aussagen:
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
X ist ein Baire-Raum.
Für jede Menge A ⊆ X von 1. Kategorie ist X \ A dicht in X .
Jede nichtleere oene Teilmenge von X ist von 2. Kategorie.
Das Innere jeder Menge 1. Kategorie ist leer.
2. Für 1 ≤ p ≤ ∞, n ∈ N, sei `p (n) := (Rn , | · |p ). Die Einbettung von `p (n) in
`p (r), 1 ≤ r ≤ ∞, sei mit Tp,r (= id) bezeichnet: Tp,r : `p (n) → `r (n). Zeigen Sie:
kTp,r k =
1
n
1/r−1/p
für p ≤ r,
für p > r.
Hinweis: Benutzen Sie für p ≤ r die Beziehung |x|p ≤ 1 =⇒ |x|r ≤ 1 (siehe Blatt
3, Aufgabe 4). Für p > r kann die Höldersche Ungleichung angewendet werden.
3. Beweisen Sie:
(a) Q ist keine Gδ -Menge in R.
Hinweis: Wenden Sie den Satz von Baire an.
(b) Sei f : R → R. Dann ist S := {t ∈ R; f bei t stetig}, die Menge der Stetigkeitspunkte von f , eine Gδ -Menge.
Hinweis: Betrachten Sie die Mengen
Sn := {t ∈ R; ∃ r > 0T: sup{f (s); |s − t| < r} − inf{f (s); |s − t| < r} < n1 },
und zeigen Sie: S =
Sn .
n∈N
(c) Es gibt keine Funktion f : R → R, die bei allen rationalen Zahlen stetig, aber
unstetig bei allen irrationalen Zahlen ist.
(d) Die Funktion
f : (0, 1) → R, f (t) =
0 für irrationales t;
1
für rationales t = pq , p, q ∈ N, teilerfremd.
q
ist stetig bei allen irrationalen Zahlen und unstetig bei allen rationalen Zahlen.
4. Bezeichne hxi den Abstand der reellen Zahl x zur nächstgelegenen ganzen Zahl.
Sei
∞
Zeigen Sie:
f (x) :=
(a) f : R → R ist stetig.
(b) f ist nirgends dierenzierbar.
X h4j xi
j=0
4j
(x ∈ R).
5. Seien X ein normierter Raum mit dim X = ∞ und B ⊆ X eine algebraische Basis
(= Vektorraumbasis) von X , d. h. jedes x ∈ X ist eindeutige Linearkombination
endlich vieler Elemente aus B . Beweisen Sie:
(a) Jeder endlichdimensionale Teilraum L ⊆ X ist abgeschlossen.
(b) Ist L ⊆ X ein linearer Teilraum, der nicht dicht in X ist, so ist L nirgends
dicht in X .
(c) Ist X vollständig, so ist B überabzählbar.
Hausaufgaben:
Die Aufgaben 2 und 5 sind am 25.11.2004 zur 4. DS abzugeben.