¨Ubungen zur Topologie und Differentialrechnung mehrerer

LMU München
Mathematisches Institut
Sommersemester 2017
Prof. F. Merkl
Übungen zur Topologie und Differentialrechnung mehrerer Variablen
Blatt 9 – Hausaufgaben
H9.1 Leseaufgabe. Lesen Sie den Abschnitt 2.1 zur Visualisierung von Funktionen mehrerer Variablen im
Skript.
H9.2 Stetige Funktionen auf kompakten Mengen sind gleichmäßig stetig. Es seien (M, dM ) ein
kompakter halbmetrischer Raum, (N, dN ) ein halbmetrischer Raum und f : (M, dM ) → (N, dN ) eine
stetige Abbildung. Beweisen Sie, dass f gleichmäßig stetig ist. Lassen Sie sich dazu von dem aus der
Analysis 1 bekannten Spezialfall M, N ⊆ R inspirieren.
H9.3 Vererbung der Totalbeschränktheit und Kompaktheit auf kartesische Produkte. Es seien
(Mi , di ), i = 1, . . . , n totalbeschränkte halbmetrische Räume und (M, d) das kartesische Produkt davon,
versehen mit der Produkthalbmetrik. Zeigen Sie, dass auch (M, d) totalbeschränkt ist. Folgern Sie, dass
(M, d) kompakt ist, wenn alle (Mi , di ) kompakt sind.
H9.4 Zwei Illustrationen zum Satz von Stone-Weierstraß. Es sei B := {z ∈ C| |z| ≤ 1} die abgeschlossene Einheitskreisscheibe.
(a) Es sei C[z, z] die Menge der Polynomfunktionen p : B → C in der Variablen z und ihrer komplex
Konjugierten z, also Funktionen der Gestalt
X
p(z) =
αk,l z k z l
k,l∈N0
mit komplexen Zahlen αk,l , von denen nur endlich viele von 0 verschieden sind. Zeigen Sie, dass
C[z, z] dicht in (C(B, C), k · k∞ ) ist.
(b) Nun sei C[z] die Menge der Polynomfunktionen p : B → C in z, also
p(z) =
m
X
αk z k
k=0
mit komplexen Zahlen αk und m ∈ N0 . Zeigen Sie, dass C[z] nicht dicht in (C(B, C), k · k∞ ) ist.
Hinweis: Zeigen Sie, dass
Z 2π
1
L : (C(B, C), k · k∞ ) → (C, | · |), L(f ) :=
f (eix ) dx − f (0)
2π 0
eine stetige Linearform ist, die auf C[z] konstant 0 ist, die aber einen Wert L(z 7→ zz) = 1 besitzt.
P∞
P∞
H9.5 Die Reihe n=1 n−4 . Beweisen Sie analog zur Berechnung der Reihe n=1 n−2 im Skript die Formel
∞
X
π4
1
=
,
4
n
90
n=1
indem Sie beide Seiten der Parseval-Gleichung für die “Dreiecksfunktion” f : [0, 2π] → C mit f (x) = x
für 0 ≤ x ≤ π und f (x) = 2π − x für π ≤ x ≤ 2π ausrechnen.
H9.6 Gleichmäßige Konvergenz der Fourierreihe stetig differenzierbarer periodischer Funktionen. Es sei f : R → C eine stetig differenzierbare, 2π-periodische Funktion. Zeigen Sie, dass die
Fourier-Partialsumme
n
X
gn (x) =
fk eikx
k=−n
mit n ∈ N0 , x ∈ R und
fk =
1
2π
Z
2π
e−ikx f (x) dx
0
für n → ∞ gleichmäßig gegen f konvergiert.
0
Hinweis: Integrieren Sie partiell
P und verwenden Sie die Besselsche Ungleichung für f und die CauchySchwarz-Ungleichung, um k∈Z |fk | < ∞ zu zeigen.
Abgabe: Bis spätestens Dienstag, den 27.6.2017, 10:15 Uhr.
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Prof. F. Merkl
Übungen zur Topologie und Differentialrechnung mehrerer Variablen
Blatt 9 – Tutorien
T9.1 Abgeschlossenheit in kompakten Hausdorffräumen. Es sei (X, T ) ein kompakter Hausdorffraum
und K ⊆ X eine Teilmenge. Zeigen Sie, dass die Menge K genau dann kompakt ist, wenn sie abgeschlossen ist. Hinweis zur Richtung “⇒”: Gegeben x ∈ X \ K, wählen Sie für jedes y ∈ K offene
Umgebungen Uy von y und Vy von x mit Uy ∩ Vy = ∅ aus. Betrachten Sie die offene Überdeckung
(Uy )y∈K von K und verwenden Sie die Kompaktheit von K.
T9.2 Satz von Stone-Weierstraß – komplexe Version. Gegeben seien ein nichtleerer kompakter Hausdorffraum (X, T ) und eine Menge A ⊆ C(X, C) mit den folgenden Eigenschaften:
(a) Die konstante Funktion 1 : X → R mit dem Wert 1 ist ein Element von A.
(b) Für alle f, g ∈ A ist f + g ∈ A.
(c) Für alle f ∈ A und alle α ∈ C ist αf ∈ A.
(d) Für alle f, g ∈ A ist f · g ∈ A.
(e) Für alle f ∈ A ist f ∈ A, wobei f das konjugiert Komplexe von f bezeichnet.
(f) A ist punktetrennend.
Zeigen Sie, dass dann A dicht in (C(X, C), k · k∞ ) ist.
Hinweis: Zeigen Sie zuerst, dass Re A = {Re f | f ∈ A} die Voraussetzungen der reellen Version des
Satzes von Stone-Weierstraß erfüllt, und dass {Re f | f ∈ A} = {Im f | f ∈ A} gilt. Erinnern Sie sich
1
dazu an Re f = 12 (f + f ) und Im f = 2i
(f − f ).
T9.3 Fourierzerlegung von cosn und sinn . Berechnen Sie die Fourierkoeffizienten der Funktionen fn , gn :
S 1 → C, fn (z) = (Re z)n und gn (z) = (Im z)n , n ∈ N0 .
T9.4 Beziehung zwischen Funktionen auf S 1 und periodischen Funktionen. Eine Funktion f : R →
C heißt a-periodisch, a ∈ R, wenn für alle x ∈ R gilt: f (x + a) = f (x). Es bezeichne
Cper (R, C) = {f : R → C| f ist stetig und 2π-periodisch}
den Raum aller stetigen, 2π-periodischen Funktionen auf R.
Zeigen Sie, dass die Abbildung ι : (C(S 1 , C), k · k∞ ) → (Cper (R, C), k · k∞ ), ι(f )(x) = f (eix ) für
f ∈ C(S 1 , C) und x ∈ R eine bijektive lineare Isometrie ist. Folgern Sie, dass der von den Funktionen
R 3 x 7→ eikx , k ∈ Z, aufgespannte C-Vektorraum dicht in (Cper (R, C), k · k∞ ) ist.