Theoretische und praktische ¨Ubungen (11) zur

Prof. Dr. H.–J. Reinhardt
M. Sc. I. Cherlenyak
FB Mathematik
Univ. Siegen
Theoretische und praktische Übungen (11)
zur Vorlesung Theorie und Numerik gewöhnlicher
”
Differentialgleichungen“
(Abgabetermin: Montag, 14.07.09, 10 Uhr)
29. Sei D : C 1 [a, b] −→ K × C[a, b] die Abbildung
µ
¶
du
Du = u(a),
dt
für alle u ∈ C 1 [a, b].
Beweisen Sie:
a) Diese Abbildung ist linear und bijektiv.
b) D ist bistetig. Das heißt, es gibt positive Zahlen γ0 , γ1 mit der Eigenschaft
γ0 kukE ≤ kDukF ≤ γ1 kukE ,
u ∈ C 1 [a, b] ,
mit den Normen
¯
¯ m
¯d u ¯
¯
kukE = max ¯ m (t)¯¯ , u ∈ C 1 [a, b],
t∈[a,b] dt
m=0,1
³
´
kwkF = max |w0 |, max |w1 (t)| , w = (w0 , w1 ) ∈ K × C[a, b] .
t∈[a,b]
30. Sei [a, b] ein beschränktes, abgeschlossenes Intervall der reellen Zahlengeraden. Bekanntlich
ist eine Folge uk ∈ C 1 [a, b] , k ∈ N, gleichgradig stetig, falls die Ableitungen gleichmäßig
beschränkt sind. Zeigen Sie, dass die Folge (uk ) auch gleichgradig stetig ist, falls nur gilt
µZ b
¶1/2
0
2
|uk |1,2 :=
|uk (x)| dx
≤C,
k∈N.
a
31. Sei [a, b] ein beschränktes abgeschlossenes Intervall der reellen Zahlengeraden. Für jedes
h > 0 sei das Punktegitter
[a, b]h = {x ∈ [a, b] | x = a + jh, j = 0, . . . , Nh }
sowie
[a, b]0h = {x ∈ [a, b] | x = j + ah, j = 0, . . . , Nh − 1}, Nh h = b − a ,
erklärt. Sei Λ eine Nullfolge von Schrittweiten h, und sei (uh )h∈Λ eine Folge von Funktionen
uh ∈ C[a, b]h , h ∈ Λ. Dann heißt diese Folge gleichmäßig gleichgradig stetig, wenn für jedes
ε > 0 ein δ > 0 existiert, so dass für jedes h ∈ Λ mit 0 < h < δ und jedes x, x0 ∈ [a, b]h
mit |x − x0 | < δ gilt |uh (x) − uh (x0 )| < ε.
Man beweise:
Die Folge (uh )h∈Λ ist gleichmäßig gleichgradig stetig, wenn mit einer Zahl γ > 0 die
Abschätzung gilt
kDh+ uh k0,∞ ≤ γ, h ∈ Λ,
mit dem vorwärtsgenommenen Differenzenquotienten Dh+ und der Abkürzung
kDh+ uh k0,∞ := max |Dh+ uh (x)|.
x∈[a,b]0h