Aufgabenblatt Nr. 1: Konstruktion der reellen Zahlen

Aufgabenblatt Nr. 1: Konstruktion der reellen Zahlen
Definition 1 (Dedekind-Menge) Eine Menge M ⊆ Q ist eine rationale Dedekind-Menge genau
dann, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind.
(a) M 6= {},
(b) M 6= Q,
(c) ∀x, y ∈ Q : y < x ∧ x ∈ M → y ∈ M ).
Die letzte Bedingung besagt, dass M nach unten abgeschlossen ist: Wenn eine Zahl x in M
liegt, dann liegt auch jede Zahl, die kleiner als x ist, in M .
(d) Die Menge M hat kein Maximum, es gibt also kein m ∈ M , so dass
x≤m
für alle x ∈ M gilt.
Definition 2 Ein Paar hM1 , M2 i heißt rationaler Dedekindscher Schnitt falls folgendes gilt:
(a) M1 ⊆ Q,
M2 ⊆ Q.
(b) M1 6= ∅,
M2 6= ∅.
(c) ∀x1 ∈ M1 : ∀x2 ∈ M2 : x1 < x2 .
(d) M1 ∪ M2 = Q.
(e) Die Menge M1 hat kein Maximum.
Aufgabe 1: Zeigen Sie, dass eine Menge M ⊆ Q genau dann eine rationale Dedekind-Menge ist,
wenn das Paar hM, Q\M i ein rationaler Dedekindscher Schnitt ist.
Aufgabe 2: Es sei D die Menge aller rationalen Dedekind-Mengen, also
D := M ∈ 2Q | M is Dedekind-Menge .
Auf der Menge D definieren wir eine binäre Relation ≤ durch die Festsetzung
def
A ≤ B ⇐⇒ A ⊆ B
f.a. A, B ∈ D.
Zeigen Sie, dass die so definierte Relation ≤ eine totale Ordnung auf der Menge D ist.
Definition 3 (Infimum) Eine Menge M ⊆ D ist in D nach unten beschränkt, falls es ein U ∈ D
gibt, so dass gilt:
∀A ∈ M : U ≤ A.
Eine Menge I ∈ D ist das Infimum einer Menge M, wenn I die größte untere Schranke von M ist,
wenn also
∀A ∈ M : I ≤ A und ∀T ∈ D : ∀A ∈ M : T ≤ A → T ≤ I
gilt. In diesem Fall schreiben wir
S = inf(M).
Aufgabe 3:
Aufgabe 4: Zeigen Sie, dass jede nicht-leere und in D nach unten beschränkte Menge M ⊆ D ein
Infimum I ∈ D hat.
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Definition 4 (Addition von Dedekind-Mengen) Es seien A und B Dedekind-Mengen. Dann
definieren wir die Summe A + B wie folgt:
A + B := {x + y | x ∈ A ∧ y ∈ B}.
Aufgabe 5: Es seien A, B ∈ D. Zeigen Sie, dass dann auch A + B ∈ D ist.
Aufgabe 6: Zeigen Sie, dass die Menge
O := {x ∈ Q | x < 0}
eine Dedekind-Menge ist und zeigen Sie weiter, dass die Struktur hD, 0, +i eine kommutative
Gruppe ist.
Aufgabe 7: Überlegen Sie, wie sich auf der Menge D eine Multiplikation definieren lässt, so dass
D mit dieser Multiplikation und der oben definierten Addition ein Körper wird.
Bemerkung: Die Menge R der reellen Zahlen ist nicht anderes als die Menge D der DedekindMengen. Jedes A ∈ D stellt dabei die reelle Zahl inf(A) dar. In dem Buch “Grundlagen der
Analysis” von Edmund Landau wird diese Konstruktion der reellen Zahlen im Detail beschrieben.
Das Buch finden Sie im Internet unter der folgenden Adresse:
http://www.scribd.com/doc/2452802/Landau-Edmund-Grundlagen-der-Analysis
Eine englische Version dieses Buches ist bei Google Books (books.google.com) verfügbar.
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