Klasse 11

Landesverband Mathematikwettbewerbe Nordrhein-Westfalen e. V.
3. Landeswettbewerb 1996/97 in Dortmund
Aufgaben der Klassen 11-13
Hinweis: Der Lösungsweg mit Begründungen, Nebenrechnungen und (bei Konstruktionsaufgaben) Hilfslinien
soll deutlich erkennbar in logisch und grammatisch einwandfreien Sätzen dargestellt werden.
Zur Lösungsgewinnung herangezogene Aussagen sind zu beweisen. Nur wenn eine so zu verwendende Aussage
aus dem Schulunterricht oder aus Arbeitsgemeinschaften bekannt ist, genügt es ohne Beweisangabe, sie als
bekannten Sachverhalt anzuführen.
1. Aufgabe:
Man ermittle, wie viele Möglichkeiten es insgesamt gibt, die Zahl 1997 als Summe von zwei oder mehr
aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen darzustellen. (Darstellungen mit 0 als erstem Summanden sollen nicht
mitgezählt werden.)
2. Aufgabe:
In einem Quadrat ABCD seien k 1 und k 2 die von A nach C verlaufenden Viertelkreisbögen mit den
Mittelpunkten B bzw. D . Für jeden Punkt P auf k 1 sei t 1 die in P an k 1 gelegte Tangente; ferner sei t 2 die zu t 1
parallele Tangente an k 2 . Die zu t 1 und t 2 senkrechten Geraden durch A bzw. C seien s1 bzw. s2 . Die Geraden
t 1 , s1 , t 2 , s2 begrenzen ein Rechteck R .
Man beweise, daß der Umfang des Rechtecks R nicht von der Wahl des Punktes P abhängt.
3. Aufgabe:
Man ermittle alle diejenigen reellwertigen Funktionen f , die den folgenden Bedingungen (1) , (2) , (3) genügen:
(1) Die Funktion f ist für alle von 0 verschiedenen reellen Zahlen x definiert.
(2) Für alle von 0 verschiedenen reellen Zahlen x gilt f   x   f  x  .
(3) Für alle von 0 verschiedenen reellen Zahlen x und y mit x  y  0 gilt
 1 
1
1
  f    f    2 xy  1 .
f 
x
x y
y