13. Schulmathematikolympiade 2006/2007 - Heinrich

13.
Schulmathematikolympiade
2006/2007
des
Heinrich-Mann-Gymnasiums Erfurt,
Staatliches Gymnasium
„Zur Himmelspforte“
(1. Stufe der 46. Mathematikolympiade)
Klassenstufe 9
Achtung: Bis auf solche Fakten, die aus dem
Schulunterricht oder aus Arbeitsgemeinschaften bekannt
sind, müssen alle verwendeten Aussagen präzise
formuliert und bewiesen werden. Der Lösungsweg
(einschließlich Nebenrechnungen, Konstruktionen,
Hilfslinien, Skizzen) muss deutlich erkennbar sein! Eine
deutliche und saubere Schrift hilft Missverständnisse zu
vermeiden.
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„Wer A sagt, muss nicht B sagen, wenn er
erkennt, dass A falsch ist.“
B. Brecht
Aufgabe 1
Der Verkaufspreis (Bruttopreis) einer Ware setzt
sich zusammen aus dem Nettopreis und der
Mehrwertsteuer. Vor einiger Zeit hatte in
Deutschland die Mehrwertsteuer 14% des
Nettopreises betragen; dann wurde im Zuge der
europäischen Anpassung dieser Prozentsatz auf
15% erhöht. Das bedeutete – bei gleich
bleibendem Nettopreis – eine Erhöhung des
Verkaufspreises.
Wie viel Prozent des vorigen Verkaufspreises hat
diese Erhöhung betragen? Berechne diesen
Prozentsatz gerundet auf zwei Dezimalen nach
dem Komma!
Ermittle ohne Zeichnung, wie groß die maximale
Anzahl der Gebiete für 10 Geraden ist! Erläutere,
wie du diese Anzahl gefunden hast!
Aufgabe 3
Ermittle alle diejenigen Zahlen z = abcd, die
folgende Bedingungen (1) bis (4) erfüllen:
(1)
(2)
(3)
(4)
Aufgabe 2
Die drei Geraden in der
Abbildung zerlegen die
Ebene in sieben Gebiete.
Bestimme zeichnerisch
die maximale Anzahl von
Gebieten bei 4, 5, 6
Geraden!
Beschreibe, wie diese Geraden angeordnet sein
müssen?
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z ist eine Primzahl.
Keine zwei der Ziffern a, b, c, d sind
einander gleich.
Die beiden Zahlen z1 = ab und z2 = cd
sind Primzahlen; jede dieser beiden
Zahlen hat die Quersumme 10.
Auch jede der beiden Ziffern c und d
bezeichnet eine Primzahl.
Hinweis: In dieser Aufgabe bedeutet die
Schreibweise z = abcd, dass die Zahl z mit den
Ziffern a, b, c, d (in dieser Reihenfolge)
geschrieben wird.
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