Fakultät für Mathematik Prof. Dr. B. Hofmann 1

Fakultät für Mathematik
Prof. Dr. B. Hofmann
13. Oktober 2014
Höhere Mathematik I (für MB)
1. Hausaufgabe – Abgabe: 5.11.14
Hinweis : Schreiben Sie alle wesentlichen Rechenschritte auf dem Weg zum Ergebnis
nachvollziehbar auf. Bei Verwendung von Dezimalbrüchen geben Sie das Endergebnis auf
vier Nachkommastellen genau an.
1.1 Für welche reellen Zahlen u, v definiert der Ausdruck
s r
2
1
3 u
v2 u
eine reelle Zahl ?
Vereinfachen Sie den Ausdruck soweit als möglich.
1.2 Lösen Sie folgende Gleichungen in der Menge der reellen Zahlen.
(a) 2−1 = ln 2 · log4 x
√
√
√
(b) 2 − x + 3 + x = 11 − 2x
(c) sin x = sin 2x
1.3 Bestimmen Sie die Nullstellen der auf der x-Achse definierten Funktion
f (x) = e2x − 3 ex + 2 .
Warum hat f keine Umkehrfunktion ?
Geben Sie ein offenes Intervall I auf der x-Achse an, so dass f, eingeschränkt auf I,
eine Umkehrfunktion besitzt.
Hinweis: Nutzen Sie die Substitution y = ex .
1.4 Für welche reellen Zahlen x sind die Funktionen
r
x
1
f (x) =
bzw.
g(x) = − 2
x−2
x
definiert bzw. nicht definiert ?
Untersuchen Sie, ob die verketteten Funktionen u(x) = f (g(x)) und v(x) = g(f (x))
existieren, und bestimmen Sie deren Definitionsbereiche.
Skizzieren Sie u und v .
1.5 In der x-y-Ebene ist eine Gerade durch die Punkte A(0, 2) und B(−4, −1) gegeben.
In welchem Punkt schneidet die Gerade die Winkelhalbierende des zweiten und
vierten Quadranten ?
1.6 Die Mantelfläche eines geraden Kreiskegels bildet bei Abwicklung in die Ebene einen
Kreissektor mit Radius R und Zentriwinkel α .
(a) Berechnen Sie die Grundfläche A des Kegels als Funktion von R und α.
(b) Berechnen Sie das Volumen V des Kegels als Funktion von R und α.
(c) Zusatz: Für welches α nimmt V einen Maximalwert an (bei fixiertem R) ?
Aufgaben und Lösungen im Web : http://www.tu-chemnitz.de/∼ustreit