¨Ubungen Modul Grundlagen der Analysis B:
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Übungen Modul Grundlagen der Analysis WiSe 10/11 A: J. Mylosz und H.-J. Samaga Blatt 2 Präsenzaufgaben und Verständnisfragen 5. Gesucht ist eine Folge mit genau zwei Häufungspunkten, von denen genau einer auch als Folgenglied vorkommt (ohne Beweis). 6. Gesucht sind alle Häufungspunkte der Cantorfolge (Abzählung von Q). 7. Zeichne in eine Skizze (Grundmenge sei die Menge aller reellen Folgen) M1 : Menge aller reellen Folgen, die konvergent sind, M2 : Menge aller reellen Folgen, die einen Häufungspunkt haben, und gib für jede der möglichen Gebiete je eine Beispielsfolge an (ohne Beweis). 8. Wahr oder falsch ? a) Wenn für alle Glieder einer Folge |an − a| < 1 10 gilt, dann gilt auch |an − am | < 15 . b) In jeder Nullfolge kommt die Zahl 0 unendlich oft vor. c) In jeder Nullfolge kommt die Zahl 0 wenigstens einmal vor. d) Es gibt Folgen mit unendlich vielen Folgengliedern 0, die nicht gegen 0 konvergieren. e) Folgen mit genau einem Häufungspunkt müssen nicht konvergent sein. B: 4. Übungsaufgaben a) Zeichnen Sie in eine Skizze (Grundmenge sei die Menge aller reellen Folgen) M1 M2 M3 M4 : : : : Menge Menge Menge Menge aller aller aller aller reellen reellen reellen reellen Folgen, Folgen, Folgen, Folgen, die die die die beschränkt sind, konvergent sind, genau zwei Häufungspunkte haben, monoton fallen, und geben Sie für jede der möglichen Gebiete je eine Beispielsfolge an (ohne Beweis). b) In welchen der in a) vorkommenden Gebieten liegt eine Folge, die alle rationalen Zahlen zwischen 0 und 1 abzählt(mit Begründung)? 5. a) Wie Aufgabe B 4 a) für M1 : Menge aller reellen Folgen, die nicht beschränkt sind, M2 : Menge aller reellen Folgen, die genau einen Häufungspunkt haben M3 : Menge aller reellen Folgen ohne Häufungspunkt, M4 : Menge aller reellen Folgen, die unendlich viele Häufungspunkte haben. b) In welchen der sich aus a) ergebenden Gebieten kann eine monoton fallende Folge liegen (mit Begründung)? 6. Beweisen oder widerlegen Sie: Die Folge n2 +1 100n2 −1 konvergiert gegen 0. Abgabe der Übungsaufgaben am 3.11. nach der Vorlesung bzw. in den Übungen.
