1. Präsenzübung Mathematik I für Physiker und

Universität Würzburg
Institut für Mathematik
Dr. Gunther Dirr
A. Thomann, J. Žabenský, M. Technau, P. Leymann
Wintersemester 2015/2016
Würzburg, den 14.10.2015
1. Präsenzübung Mathematik I für Physiker und
Ingenieurswissenschaftler
Dieses Blatt ist nicht abzugeben und wird nicht bewertet. Es wird in den Übungen vom 19.- 23.10.2015 besprochen.
1.1. Beweismethoden
Beweisen Sie folgende Aussage
”
Jede natürliche Zahl, die ein ganzzahliges Vielfaches von 10 ist,
ist auch ein ganzzahliges Vielfaches von 5.“
durch einen
(a) direkten Beweis.
(b) indirekten Beweis.
(c) Widerspruchsbeweis.
1.2. Quantoren
Seien X, Y, Z Teilmengen von R.
(a) ∀x ∈ X ∃y ∈ Y ∀z ∈ Z : x · y < z
(i) Formulieren Sie die Aussage in einen Satz um.
(ii) Verneinen Sie die Aussage und schreiben Sie sie in Quantorenschreibweise.
(iii) Seien X = R+ , Y = R+ und Z = R− . Ist die Aussage oder Ihre Verneinung wahr?
(R+ bezeichnet alle positiven reellen Zahlen ohne Null und R− bezeichnet alle negativen reellen
Zahlen ohne Null. )
(b) Für alle reellen Zahlen x und z existiert ein y aus den reellen Zahlen, sodass x mal y gleich z gilt.
(i) Schreiben Sie diese Aussage in Quantorenschreibweise.
(ii) Verneinen Sie die Aussage und schreiben Sie sie in Quantorenschreibweise.
(iii) Ist die Aussage oder ihre Verneinung wahr?
1.3. Mengenoperationen
Seien L, M, N beliebige Mengen. Zeigen Sie 3 der folgenden Aussagen
(a) M ∩ N = N ∩ M (Kommutativität)
M ∪N =N ∪M
(b) L ∩ (M ∩ N ) = (L ∩ M ) ∩ N (Assoziativität)
L ∪ (M ∪ N ) = (L ∪ M ) ∪ N
(c) L ∩ (M ∪ N ) = (L ∩ M ) ∪ (L ∩ N ) (Distributivität)
L ∪ (M ∩ N ) = (L ∪ M ) ∩ (L ∪ N )
1.4. Aussagenlogik
Zeigen Sie folgende logische Äguivalenzen mittels einer Wahrheitswerte-Tabelle.
(a) (A ∧ B) ∧ C ≡ A ∧ (B ∧ C) (Assoziativität)
(b) A ∨ (B ∧ C) ≡ (A ∨ B) ∧ (A ∨ C) (Distributivität)
(c) ¬(A ∧ B) ≡ ¬A ∨ ¬B (de Morgan’sche Regeln)