Der Betrag

Der Betrag
1. Definition
Intuitiv: den Betrag zu nehmen, heisst das Vorzeichen zu vergessen. Für alle reellen
Zahlen a definieren wir den Betrag |a| von a wie folgt:
a
falls a ≥ 0
|a| =
−a falls a < 0
√
√
√
Zum Beispiel: |2| = | − 2| = 2; |π| = | − π| = π; |0| = 0; | 2| = | − 2| = 2.
• Die Betragsfunktion
x 7→ |x|
ist eine reelle Funktion mit Definionsmenge R und Bildmenge R≥0 = [0, +∞).
Jeder Wert c > 0 wird genau zweimal angenommen, nämlich in x = c und x = −c.
• Die Funktionen |x| und x sind für alle x ≥ 0 gleich. Die Funktionen |x| und −x
sind für alle x ≤ 0 gleich.
4
3
2
1
−4 −3 −2 −1
1
2
3
4
2. Regeln
Es gelten die folgenden Regeln für den Betrag:
• Für jede reelle Zahl a gilt:
|a| ≥ 0
|a| = 0 ⇔ a = 0
und
In der Tat: falls a > 0, ist |a| = a > 0; falls a = 0, ist |a| = |0| = 0; falls a < 0, ist
−a > 0 also ist |a| = −a > 0. Schauen Sie auch den Graphen an.
Beispiel: | − 3| = |3| = 3, |0| = 0.
• Für jede reelle Zahl a gilt:
|a| = |a|
d.h. zweimal den Betrag nehmen (analog, mehrere Male) ist dasselbe wie ihn
einmal zu nehmen. Der Grund: |a| ≥ 0 und der Betrag lässt positive Zahlen
invariant. Beispiel: |3| = |3| = 3, | − 3| = | − 3| = 3.
1
• Für jede reelle Zahl a gilt:
| − a| = |a|
Machen Sie sich das mit Hilfe des Graphen klar.
Beispiel: | − 3| = |3| = 3, |0| = | − 0| = 0.
• Für alle reellen Zahlen a, b gilt:
|ab| = |a| · |b|
Beispiel: |(−3)(−5)| = | − 15| = 15 = | − 3| · | − 5|.
Falls a 6= 0 gilt:
1
= 1
a |a|
1
1
= 21 .
Beispiel: −2 = |−2|
Konsequenz der zwei obigen Eigenschaften:
a |a|
=
b
|b|
• Für alle reellen Zahlen a, b gilt:
|a + b| ≤ |a| + |b|
Beispiel: |(−3) + (−5)| ≤ | − 3| + | − 5| = 8; |(−3) + 5| ≤ | − 3| + |5| = 8.
Eine äquivalente Formulierung der obigen Eigenschaft ist, dass für alle reellen
Zahlen a, b gilt:
|a − b| ≤ |a − c| + |c − b|
da a − b = (a + c) + (c − b) gilt.
Beispiel aus dem Alltag: Wenn wir direkt von Regensburg nach München fahren,
ist das sicher nicht weiter als wenn wir von Regensburg nach Ingolstadt fahren
und von dort aus nach München.
• Für alle reellen Zahlen a, b gilt:
|a − b| = 0 ⇐⇒ a = b
Beispiel aus dem Alltag: Die Temperatur hat sich genau dann nicht veräendert
(d.h. der Sprung ist null), wenn die Temperatur von gestern und die Temperatur
von heute gleich sind.
• Für alle reellen Zahlen a, b gilt:
|a| − |b| ≤ | ± a ± b| ≤ |a| + |b|
Beispiel: Wir machen 4 Schritte (nach links oder nach rechts) und dann noch 6
Schritte (nach links oder nach rechts). Wir sind höchstens 10 = 6 + 4 Schritte vom
Ausgangspunkt entfernt (nach links oder nach rechts) und mindestens 2 = 6 − 4
Schritte (nach links oder nach rechts).
Anmerkung: es gilt
√
a2 = |a|
denn durch das Quadrieren haben wir das Vorzeichen von a vergessen.
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