Aufgabe 1 Lösen Sie die folgenden komplexen Gleichungen (z ∈ C

Universität
Stuttgart
Vortragsübung
Mathematik I für inf, swt
Jonathan Kausch
Blatt 7
WS 2016/2017
08.12.16
Aufgabe 1 Lösen Sie die folgenden komplexen Gleichungen (z ∈ C):
(a) z + Rez = 2 + i
(b) zz + Imz = Rez + 1 und 2RezImz = zz und 0 ≤ arg(z) ≤
π
2
Aufgabe 2 Gegeben sei das Polynom p(x) = x7 − 64x.
(a) Bestimmen Sie alle komplexen Nullstellen des Polynoms p(x).
(b) Skizzieren Sie die Nullstellen in der Gaußschen Zahlenebene.
(c) Zerlegen Sie das Polynom p(x) über den reellen Zahlen in möglichst kleine
Faktoren.
Aufgabe 3 Für welche Werte t ∈ R hat das lineare Gleichungssystem
x1 + x2
= t
x1 + 2x2 + tx3 = 0
x1
− tx3 = 0
keine, genau eine bzw. unendlich viele Lösungen? Geben Sie jeweils die Lösungsmenge
in Abhängigkeit von t an.
Aufgabe 4 Sei p(x) ein reelles Polynom. Dann gilt:
(a) Ist λ eine Nullstelle von p, dann ist auch λ eine Nullstelle von p.
(b)
(i) p ist Produkt von linearen reellen Polynomen.
(ii) p ist Produkt von quadratischen reellen Polynomen, welche keine reellen
Nullstellen besitzen.
(iii) p ist Produkt von linearen reellen und quadratischen reellen Polynomen,
wobei die quadratischen Polynome keine reellen Nullstellen haben.
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