Lineare Algebra - Institut für Mathematik

Institut für Mathematik
A. Kresch
17.09.2013
Übung zur Vorlesung
Lineare Algebra
HS 2013 - freiwillige Auffrischungsübungen
Nicht abgeben – Diskussion in der Übungsstunde in der Woche vom 23.09.
1
Mengen und logische Begriffe
(a) Entscheiden Sie jeweils ob die angegebene Menge leer oder nichtleer ist:
(i) {a2 | a ∈ Z} ∩ {2p | p Primzahl},
(ii) {(x1 , x2 ) ∈ R2 | x21 + x22 + 1 = 0},
(iii) {f Polynom mit reellen Koeffizienten | f (0) = f (1) = · · · = f (9) = 0 und f (10) = 1}.
(b) Ergänzen Sie die Sätze
(i) Für alle a ∈ R>0 gibt es ein b ∈ R>0 so, dass . . .
(ii) Es gibt ein a ∈ R>0 so, dass es genau ein b ∈ R>0 gibt, mit . . .
(iii) Es gibt ein a ∈ R>0 so, dass für alle b ∈ R>0 gilt . . .
mit den Ausdrücken
ab = b,
a = eb ,
sin a = sin b,
so dass jeweils eine wahre Aussage entsteht.
2
Minkowski-Summe von Mengen
Die Summe zweier Mengen S und T , genannt Minkowski-Summe nach Hermann Minkowski, ist die
Menge S + T := {s + t | s ∈ S, t ∈ T }. Dabei wird angenommen, dass s + t Sinn ergibt für s ∈ S
und t ∈ T (zum Beispiel wenn n ∈ N und S, T ⊂ Rn ). Analog und unter ähnlichen Annahmen:
s + T := {s + t | t ∈ T } sowie λT := {λt | t ∈ T }.
Beschreiben Sie die folgenden Mengen:
(a) Z + Q,
√
(b) Q ∩ 2 Q,
(c) 1 + 2Z.
3
Rationale und reelle Zahlen
(a) Ein Polynom mit rationalen Koeffizienten f heisst ganzwertig, wenn das Polynom für jede ganze
Zahl a einen ganzzahligen Wert f (a) annimmt; in Symbolen: f (a) ∈ Z für alle a ∈ Z.
Zeigen Sie an einem Beispiel, dass ein Polynom ganzwertig sein kann, ohne dass die Koeffizienten
ganzzahlig sind.
(b) Schon im 17. Jahrhundert wurde folgende Regel über die positiven reellen Nullstellen eines
Polynoms mit reellen Koeffizienten beschrieben:
(Vorzeichenregel von Descartes, 1637) Jede Nullstelle sei nach ihrer Multiplizität gezählt. Als
obere Schranke für die Anzahl positiver reeller Nullstellen gilt die Anzahl der Vorzeichenwechsel
der von 0 verschiedenen Koeffizienten. Unterschreitet sie diese obere Schranke, tut sie es um
eine gerade natürliche Zahl.
Nach der Vorzeichenregel von Descartes besitzt das Polynom
x3 + x2 − 2x − 1
genau eine positive reelle Nullstelle x1 . Zeigen Sie, dass auch
x2 := x21 − 2
und
x3 := −x21 − x1 + 1
Nullstellen sind und dass die reellen Zahlen xi (i = 1, 2, 3) paarweise verschieden sind.