Analysis für die Chemie – Serie 3

I-Math UZH
Prof. T. Kappeler
Ana-Chem F S 2017
Analysis für die Chemie – Serie 3
Abgabe bis Mittwoch, 15.03.2017, 10:00Uhr bei den Assistenten
Aufgabe 1
Entscheide, ob folgende Aussagen wahr oder falsch sind. (Mit Begründung.)
(i) Es existieren reelle Zahlen a, b, c, so dass das Polynom p(x) = x 3 + ax 2 + bx + c drei
einfache reelle Nullstellen besitzt.
(ii) Jedes Polynom der Form p(x) = x 2 + ax + 1 mit a ∈ R hat keine reelle Nullstelle.
(iii) Sei p ein Polynom der Form p(x) = x 3 + ax 2 + bx + c, wobei a, b und c fest vorgegebene
reelle Zahlen sind. Dann existiert für jedes beliebig grosse M > 0 eine reelle Zahl x M > 0,
so dass p(x) > M und p(−x) < −M für jedes x > x M .
Aufgabe 2
(i) Seien p und q die Polynome p(x) = x 5 + x 3 + x 2 − 1 und q(x) = x 2 + x + 1.
Bestimme Polynome h(x) und r (x), so dass p(x) = h(x)q(x) + r (x) und der Grad von r (x)
kleiner ist als 2. (ii) Bestimme a ∈ R so dass das Polynom p(x) = x 3 + x 2 + x + a das Polynom
q(x) = 12 x + 1 als Faktor besitzt.
Aufgabe 3P Seien q und p verschiedene,
nicht identisch verschwindende Polynome der
P
Form q(x) =
7
j
j =0 a j x ,
p(x) =
7
b xk
k=0 k
mit reellen Koeffizienten a j , b k .
(i) Verifiziere, dass q(x) − p(x) ein Polynom ist und bestimme dessen Koeffizienten und
Grad.
(ii) Verifiziere, dass q(x) · p(x) ein Polynom ist und bestimme dessen Koeffizienten und
Grad.
Aufgabe 4
Der Zerfall einer radioaktiven Substanz wird approximativ beschrieben durch
die Formel N (t ) = N0 e −at . Dabei bezeichnet N (t ) die Anzahl der zur Zeit t ≥ 0 noch vorhandenen Atome der im Experiment betrachteten Substanz, N0 = N (0) und a ∈ R>0 .
(i) Bestimme die Halbwertszeit τ, d.h. τ > 0 so dass N (τ) = N0 /2.
(ii) Verifiziere, dass N (t + τ) = N (t )/2 für jedes t > 0.
Aufgabe 5
Sei p(x) = x 4 + x 3 + 2x 2 + 4x − 8.
(i) Verifiziere, dass die komplexe Zahl z = 2i eine Nullstelle von p ist. Finde damit eine
weitere Nullstelle.
(ii) Bestimme alle übrigen Nullstellen von p.
(iii) Seien f , g Polynome mit reellen Koeffizienten, wobei f vom Grade m sei und g vom
Grade n mit m ≤ n. Man nehme an, dass reelle Zahlen x 1 , . . . , x n+1 mit x 1 < · · · < x n+1
existieren, so dass f (x j ) = g (x j ) für jedes 1 ≤ j ≤ n + 1. Entscheide, ob eine reelle Zahl
x existiert mit f (x) 6= g (x).
9. März 2017 13:36
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