Probeklausur - sven.köppel.org

Numerische Mathematik
WS 2009/10
Prof. Dr. Thomas Gerstner
Probeklausur
Bearbeitungsdauer: 90 Minuten
Name:
Vorname:
Die Klausur ist bestanden, wenn die erreichten Punkte
mindestens 50% der erreichbaren Punkte betragen.
Aufgabe
max. Pkt.
1
5
2
5
Matrikelnr.:
3
5
4
5
5
5
6
5
7
5
err. Pkt.
Aufgabe 1:
[Zahldarstellung]
Ein 16-Bit Rechner stellt reelle Zahlen im normalisierten Gleitkommaformat mit einem Vorzeichen-Bit, 8 Bits
für die Mantisse und 7 Bits für den Exponenten mit einem Bias von 63 dar. Geben Sie die Formeldarstellung
einer solchen Gleitkommazahl sowie die Maschinengenauigkeit des Rechners an.
Aufgabe 2:
[Polynominterpolation]
Gegeben sei die folgende Wertetabelle:
x
f (x)
1
3
2
1
3
2
Geben Sie das quadratische Polynom, das diese drei Punkte interpoliert, in der Lagrange- und in der NewtonDarstellung an.
Aufgabe 3:
[Trigonometrische Interpolation]
Beweisen Sie, dass zu Stützpunkten (xk , fk ), 0 ≤ k ≤ n − 1, mit xk = 2πk/n für beliebige komplexe fk
genau ein trigonometrisches Polynom
P (x) = α0 + α1 eix + . . . + αn−1 e(n−1)ix
existiert, für das die Interpolationseigenschaft P (xk ) = fk für 0 ≤ k ≤ n − 1 gilt.
Aufgabe 4:
[Quadratur]
Zeigen Sie, dass das Romberg-Extrapolationsverfahren für die Schrittweiten h0 = 1 und h1 = 1/2 gerade
die Simpson-Regel extrapoliert.
Aufgabe 5:
[QR-Zerlegung]
Gegeben sei die reelle Matrix


−3
2
0
5 
A =  4 −1
0
1 −1
Berechnen Sie die QR-Zerlegung A = QR der Matrix A mit Hilfe von ebenen Rotationen.
Aufgabe 6:
[Lineare Ausgleichsrechnung]
Ermitteln Sie die Gerade g(x) = ax + b, welche die drei Datenpunkte (0, 3), (1, 4) und (2, 2) so approximiert,
dass der quadratische Fehler minimiert wird.
Aufgabe 7:
[Nullstellenbestimmung]
Geben Sie die Iterationsvorschrift des Newton-Verfahrens zur Berechnung der positiven Nullstelle von f (x) =
xn − a für n ∈ IN und a > 0 an und zeigen Sie, dass die Newton-Iteration in diesem Fall für jeden Startwert
x0 > 0 konvergiert.