Algebra und Diskrete Mathematik, PS3 Sommersemester 2017 26

Algebra und Diskrete Mathematik, PS3
Sommersemester 2017
26. Juni 2017
1) Was ist ein Polynom in n Variablen? Was ist die dadurch definierte Polynomfunktion ? Wie ist das Produkt von zwei Polynomen in n Variablen definiert? Wie ist das Produkt der entsprechenden Polynomfunktionen definiert?
Wie ist die Nullstellenmenge einer Menge von Polynomen in n
Variablen definiert? Es seien f := x21 + x22 − 25, g := 2x1 − 7x2
und h := x1 + x2 − 1 Polynome in R[x1 , x2 ]. Skizzieren Sie die
Nullstellenmengen (in R2 ) der Polynome f, g, h, f ·g, f ·g ·h und
der Mengen
{f, g}, {f, h}, {f, g, h}, {f · g, h} .
2) Finden Sie ein Polynom in R[x1 , x2 ], dessen Nullstellenmenge
die Vereinigung der folgenden drei Teilmengen von R2 ist: der
Kreis mit Mittelpunkt (0, 2) und Radius 1, der Kreis mit Mittelpunkt (1, 0) und Radius 2, die Gerade durch (2, 1) und (1, 0).
3) Aus: Reichel, H., Humenberger , H. (Hrsg:): Das ist Mathematik 4. öbv , Wien 2010
Aufgabe 213 Führe die Divisionen durch! Welche Bedingungen
müssen die Variablen erfüllen? Führe jeweils die Multiplikationsprobe durch!
c: (s4 − s2 t2 + 2st3 − t4 ) : (s2 − st + t2 ) =
d: (s4 − s2 t2 + 2st3 − t4 ) : (s2 + st − t2 ) =
Diese Aufgabe gehört zum Abschnitt Dividieren durch Ter”
me“. Erläutern Sie, was hier mit Division und mit Variable
gemeint ist. In welchem Ring wird hier gerechnet?
4) Was ist eine quadratische Funktion, was ist ihre Scheitelform?
Aus: Malle et al.: Mathematik verstehen 5. öbv , Wien 2010.
Aufgabe 4.22 Ermittle alle Lösungen der Gleichung!
b) 15 · (x + 4)2 = (5x + 27)2 − (3x + 19)2
Aufgabe 4.85 Die Gleichung ax2 + 36x + 81 = 0 mit a 6= 0
besitzt genau eine Lösung. Diese ist auch Lösung der Gleichung
2x2 +bx−18 = 0. Ermittle a und b und löse beide Gleichungen!
Aus: Malle et al.: Mathematik verstehen 7. öbv , Wien 2011.
Aufgabe 3.114 Die zwei Kathetenlängen eines rechtwinkeligen
Dreiecks ergeben zusammen a cm. Wie lang sind die Katheten
zu wählen, damit der Flächeninhalt möglichst groß ist?
Aufgabe 3.119 Zeige: Einem Quadrat mit der Seitenlänge a ist
ein gleichschenkeliges Dreieck so einzuschreiben, dass seine Spitze in einer Ecke des Quadrats liegt. Wie sind die Seitenlängen
des Dreiecks zu wählen, damit sein Flächeninhalt maximal wird?
5) Es sei f die quadratische Funktion
f : R2 −→ R , (x, y) 7−→ 4x2 + 12xy + 9y 2 − 6x − 4y − 3 .
Berechnen Sie eine bijektive affine Funktion h : R2 −→ R2 und
eine quadratische Funktion g : R2 −→ R in Normalform so,
dass g ◦ h = f ist. Berechnen Sie dann 5 Nullstellen von f .
6) (Lineare Regression ohne Skalarprodukt) Es seien x := (0, 1, 2, 3, 4)
und y := (−1, 1, 1, 2, 2). Berechnen Sie Zahlen k und d so, dass
der Abstand zwischen y und kx + d(1, 1, 1, 1, 1), also
v
u 5
uX
t (y − (kx + d))2
i
i
i=1
möglichst klein wird.
Zeigen Sie zuerst: Sind a und b positive reelle Zahlen und c eine reelle Zahl, dann wird der der kleinste Funktionswert von
R2 −→ R , (x, y) 7−→ ax2 + by 2 + c , an der Stelle (0, 0) angenommen.
ENDE