Satz von Vieta - s-hb.de VIRTUAL CLASSROOM

Quadratische Gleichung
Jede quadratische Gleichung der Form
ax² + bx + c = 0
a,b,c ∈\ a ≠ 0
lässt sich durch Division in die Normalform
x² + px + q = 0
p = b/a ∈ \ , q = c/a ∈ \
bringen.
Eine quadratische Gleichung in der Normalform lässt sich über die quadratische
Ergänzung wie folgt lösen:
x² + px + q = 0
x² + px
p
( )2
x² + px + 2
p
(x + 2
)²
p
|x+ 2 |
Lösungen:
x1 =
-
// -q
p
( )2
= -q
//+ 2
=
p
( )2
2 -q
=
p
( )2
2 -q
=
p
p2
+
− q
2
4
// √
p2
− q
4
x2 =
∨
-
p
p2
− q
2
4
Satz von Vieta
Addiert man beide Lösungen, so erhält man:
(1) x1 + x2 =
-
p
p
p2
p2
(- )
− q +
− q
2 2 +
4
4
=
-
p
p
(- )
2 = - p
2+
Multipliziert man beide Lösungen miteinander, so erhält man:
p
(2) x1 • x2 = ( 2 +
-
p2
− q)•
4
p
(-2
-
p2
− q
4
)
=
p2
4
(
p2
- q) = q
4
Behauptung:
Sind x1 und x2 die Lösungen einer quadratischen Gleichung in der Normalform,
dann gilt:
( x - x1)(x - x2) = x² + px + q
Beweis:
Voraussetzung: (1) x1 + x2 = -p
bzw. - x1 - x2 = +p
(2) x1 • x2 = q
Dann gilt:
( x - x1)(x - x2) =x2 - x2•x - x1•x + x1•x2 = x2 +(- x2 - x1)x + x1•x2 = x² + px + q
qed.
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