Polynome, Unentscheidbarkeit, Färbung von Graphen • Das

• Die negative Antwort wurde erst 1970 von dem damals 20-jährigen Y. Matjasevic
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nach Vorarbeiten von M. Davis, H. Putnam, J. Robinson2 , gegeben:
Polynome, Unentscheidbarkeit, Färbung von Graphen
• Das Problem der Lösbarkeit von Polynomgleichungen (bzw. Systemen)
p(x1 , . . . , nn ) = 0
Es kann prinzipiell kein solches Verfahren geben!
bzw. pi (x1 , . . . , xn ) = 0 (1 ≤ i ≤ m)
• Die “Lösung” bestand darin, einen sehr tiefen Zusammenhang mit der Theorie der
Berechenbarkeit und dem Halteproblem herzustellen. Der zentrale Begriff:
(mit ganzzahligen Koeffizienten, in mehreren Variablen), wie
X 2 + Y 2 = 1 oder 3 · X 5 · Y − 2 · X 2 · Y 2 · Z + 7 · Y · Z 4 − X 6 = 11
Eine Menge A ⊆ Nn heisst diophantisch, wenn sie Projektion der Nullstellenmenge eines Polynoms ist, d.h.,
(“algebraische Gleichungen”) hat die Mathematiker seit der Antike (Diophantus,
3. Jh.) beschäftigt.
(a1 , . . . , an ) ∈ A ⇔ ∃y1 . . . ∃ym [f (a1 , . . . , an , y1 , . . . , ym )]
• Wirklich “einfach” sind dabei nur die beiden Spezialfälle
wobei f (x1 , . . . , xn , y1 , . . . , ym ) eine Polynom mit ganzzaghligen Koeffizienten ist.
– es tritt nur eine Variable auf: das ist die Frage nach den Nullstellen eines Polynoms in einer Variablen
– alle Terme haben den Grad 1: das ist der Fall eines linearen Gleichungssystems
Offensichtlich gilt:
Jede diophantische Menge ist rekursiv-aufzählbar (= partiell-entscheidbar)
• Hilbert’s 10. Problem (aus einer Liste von 23 Problemen),
gestellt auf dem Internationalen Mathematikerkongress 1900 in Paris:
Man entwerfe ein Verfahren, mit dessen Hilfe man in einer endlichen Anzahl
von Schritten entscheiden kann, ob ein Polynom mit mehreren Variablen
und mit ganzzahligen Koeffizienten eine ganzzahlige Lösung hat
Was Matyasevich zeigte:
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Diofantovost’ perechislimykh mnozhestv, Doklady Akademii Nauk SSSR 191 (1970); Enumarable sets
are diophantine, Soviet Mathematics 11 (1970), 354-357
2 The decision problem for exponential diophantine equations, Annals of Mathematics 74:425-436 (1961)
0-0
Die dreistellige Relation a = bc der Exponentiation ist diophantisch.
Zusammen mit den Resultaten von Davis et al. folgt daraus:
Jede rekursiv-aufzählbare (= partiell-entscheidbare) Menge natürlicher Zahlen
ist diophantisch
• Aus der Existenz nicht-entscheidbarer, wohl aber partiell-entscheidbarer Mengen (Halteproblem!) folgt die negative Antwort auf Hilberts Problemstellung. Dies hat weitreichende Konsequenzen! Beispielsweise gilt:
Die Äquivalenz von Funktionsausdrücken wird unentscheidbar, wenn man
die Polynome um Funktionen wie z.B. “Absolutbetrag” und “Sinus” erweitert (Richardson) — mit den entsprechenden Konsequenzen für das
Problem der automatischen Simplifikation.
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• Auch lösbare Spezialfälle dieses Problems sind i.a. sehr komplex.
Auf einfache Weise kann man einen Zusammenhang mit dem NP-vollständigen Problem der 3-Färbbarkeit von Graphen hergestellen.
– Ist G = (V, E) ein Graph, so sei {xv ; v ∈ V } eine die Knoten von G repräsentierende
Menge von Variablen.
Dann betrachte man das polynomiale Gleichungssystem
x3v = 1
x2u
+ xu xv + x2v = 0
({u, v} ∈ E)
von insgesamt ]V + ]E Gleichungen.
– Es gilt: Dieses System ist genau dann in C lösbar, wenn der Graph G 3-färbbar
ist
• Literatur:
Y. Matjasevich, HIlbert’ Tenth Problem, MIT Press 1993
• Für die Frage nach der Existenz reeller bzw. komplexer Lösungen von polynomialen Gleichungen (und Gleichungssystemen) gibt es ein hoch-komplexes Entscheidungsverfahren von A. Tarski (etwa um 1940 gefunden, aber zeitbedingt erst später
veröffentlicht).
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(v ∈ V )
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