Document

Quadratische Funktionen
• Eine Funktion f wird quadratisch genannt, wenn
sie von der Form
f (x) = ax2 + bx + c mit a, b, c ∈ R
ist.
• Eine quadratische Funktion enthält mehr Information als eine lineare Funktion.
• Drei beliebige Punkte definieren eine quadratische Funktion vollständig.
• Man nennt quadratische Funktionen auch Polynome zweiter Ordnung.
1
Beispiel: Umsatzfunktionen
• Sei N (p) : R → R eine Nachfragefunktion mit
N (p) = −ap + b für a, b ∈ R
• Der Umsatz eines Monopolisten mit Nachfragefunktion N ist durch
U (p) = pN (p) = −ap2 + bp
gegeben.
b2
4a
b
2a
2
Beispiel: Monopolist
• Nachfrage steht kein Angebot gegenüber, Produktionskosten werden als
K(z) = c + dz
angenommen.
• Der Gewinn ergibt ist also durch G(p) = U (p)−
K(N (p)), mit a = 1, b = 10, c = 4, d = 1 ergibt dies G(p) = −p2 + 9p − 14
6,25
0
2
4,5
7
3
Polynome & Rationale Funktionen
• Sei n ∈ N, ai ∈ R. Funktionen der Form
f (x) = anxn + an−1xn−1 + · · · + a1x + a0
heißen Polynome vom Grad n.
• Ein Polynom vom Grad n ist durch n Punkte am
Funktionsgraphen eindeutig bestimmt.
• Eine Funktion der Form
p(x)
f (x) =
q(x)
heißt rationale Funktion, wenn p und q Polynome sind.
• Die Funktion f (x) =
3x2 −1
x5
ist eine rationale
Funktion.
4
Dynamische Investitionsrechnung
• Gegeben seien zwei Geldströme E0, E1, . . . , En
und A0, A1, . . . , An.
◦ Ai Ausgaben in Periode i
◦ Ei Einnahmen in Periode i
◦ Zi = Ei − Ai Gewinn in Periode i
◦ Z0 = −A0
• Wird der riskolose Zinssatz mit i% angenommen, dann ist der Barwert
C0(v) = Z0 + vZ1 + . . . + v nZn
1
mit v = 1+i
• Der Barwert ist ein Polynom in v.
5
Dynamische Investitionsrechnung
• Wenn Zi ≥ 0 fr i ≥ 2 und Z1 < 0, dann ist
C0(v) monoton steigend in v.
• C0(0) = Z0 < 0, dass heißt C0 hat genau
eine reele Nullstelle.
• Der interne Zinsfluss ī ist der Zinssatz für den
µ
¶
1
C0
=0
1 − ī
gilt.
• ī ist der minimale Zinssatz für Refinanzierung.
Ist i < ī, dann ist das Investment nicht rentabel.
• ī kann zum Vergleich zweier Investments herangezogen werden.
6
Beispiel: Lebensversicherung
• Betrachte den Zahlungsstrom
(Z0, Z1, Z2, Z3, Z4, Z5) = (20, 4, 2, −5, −10, −15)
einer Lebensversicherung.
• Die Versicherung erwirtschaftet mit Ihren Kapitaleinlagen eine Verzinsung von i%.
• Der Kapitalwert ist
K = 20+4v+2v 2−5v 3−10v 4−15v 5 = 3.08 > 0
Die Versicherung hat also realistische Versprechungen bezüglich Ihrer Prämien gemacht.
• Der interne Zinsfluss liegt bei ī = 3.62%
7
Arithmetische und geometrische
Folgen
• Eine Folge ist eine Funktion von N nach R, jeder natürlichen Zahl n wird eine reele Zahl a(n)
zugeordnet. Kurz: (an)n∈N
• Eine Folge (an)n∈N heißt arithmetisch, wenn
es Zahlen a0 und d gibt, sodass
an = a0 + nd,
n∈N
gilt.
• Eine Folge (an)n∈N heißt geometrisch, wenn
es Zahlen a0 und q gibt, sodass
an = a0q n,
n∈N
gilt.
8
Konvergenz von Folgen
• (an)n∈N ist eine Nullfolge, wenn ∀² > 0∃N (²),
so dass |an| < ² ∀n ≥ N (²)
• Eine Folge (an)n∈N konvergiert, gegen eine reele Zahl a, wenn (an − a)n∈N eine Nullfolge ist.
• Beispiele
◦ an = n1 ist eine Nullfolge.
◦ an = 3 − n1 konvergiert gegen 3.
◦ an = n2 ist eine divergente Folge (konvergiert nicht).
◦ an = cos(nπ) ist eine oszilliernde Folge.
9