4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 Weierstraß Normalform 4.6 4.7

Computeralgebra: Übungsblatt 4
Dr. C.Hog-Angeloni/J. Hofmann
Bearbeiten Sie die ersten drei Aufgaben in der kommenden Übung. Die weiteren Aufgaben schriftlich
als Hausaufgabe.
4.1
Wiederholen Sie die geometrische Interpretation des Gruppengesetzes einer elliptischen Kurve. Lösen
Sie für
y 2 = x3 − 9x + 12
√
√
√
über den reellen Zahlen die Rechenaufgaben (−3, 2 3) + ( 12 , 122
4 ) und 2(−1, 2 5) zeichnerisch.
4.2
Verifizieren Sie, dass (−9, 0) auf
y 2 = x(x − 1)(x + 9)
liegt und finden Sie eine zyklische Untergruppe der Gruppe der rationalen Punkte E(Q) von E.
4.3
√
Sei R = Z[ −5] und f (x) = 3x2 + 4x + 3. Zeigen Sie, dass f in R [x] irreduzibel ist, aber reduzibel in
Q (R) [x]. Wie kann man dieses Beispiel mit dem Satz von Gauss in Einklang bringen?
4.4
Finden Sie mit Hilfe der elliptische Kurven Methode ein Faktorisierung der Zahl 299, führen Sie Ihre
Rechnungen einmal in homogenen und einmal in inhomogenen Koordinaten durch.
4.5
Weierstraß Normalform
Sei K ein Körper mit char(K) 6= 2, 3. Ersetzen Sie in der Gleichung
y 2 + a1 xy + a3 y = x3 + a2 x2 + a4 x + a6 , ai ∈ K
die Variable y durch 21 (y − a1 x − a3 ) und eliminieren Sie x2 in der resultierenden Gleichung.
4.6
Die irreduziblen Polynome in C[X] sind Polynome der Form X − c mit c ∈ C, dies folgt direkt aus
dem Hauptsatz der Algebra. Für die Polynomringe R[X], mit R gleich R oder Q gilt dies jedoch nicht!
1. Prüfen Sie, ob die folgenden Polynome reduzible sind.
X 2 − 2X +
3
2
∈ Q[X], X 2 − X + ∈ Q[X], X 3 + X 2 − 3X − 3 ∈ R[X]
16
9
2. Geben Sie ein reduzibles Polynom aus R[X] an, das in Q[X] irreduzible ist. Außerdem finden
Sie ein reduzibles Polynom aus C[X], das in R[X] irreduzible ist.
4.7
Untersuchen Sie die folgenden Polynome auf Primitivität und Normiertheit
m−j
P
j
1. fm = m
, m ≥ 1.
j=1 2 − 1 X
j
P
j
2. gm = m
j=1 2 − 1 X , m ≥ 1.
Abgabe: 26.11.2012 12 Uhr