Einführung in die Geometrie und Algebra

7. Übungsblatt zur Vorlesung
Dr. F. Stoll
Prof. Dr. R. Dipper
Einführung in die Geometrie und Algebra
Winter 2005/06
Aufgabe P 20.
Irreduzible Polynome in R[t]
Ist das Polynom p(t) = t4 + 1 irreduzibel in R[t]? Wenn nicht, geben Sie eine Zerlegung in
irreduzible Polynome an.
Hinweis: Gehen Sie wie folgt vor: Zerlegen Sie das Polynom zuerst im Komplexen, indem Sie
die Nullstellen berechnen. Überprüfen Sie dann, ob Sie ein reelles Polynom erhalten, wenn Sie
je zwei dieser Linearfaktoren miteinander multiplizieren.
Aufgabe P 21.
Sei K ein Körper. und sei V ein K-Vektorraum und f ∈ EndK (V ), sodass der K[t]-Modul Vf
zyklisch von der Ordnung p ∈ K[t] ist. Sei deg(p) = n und v ∈ Vf ein Erzeuger des Moduls.
Zeigen Sie, dass B = {v, f (v), f 2 (v), . . . , f n−1 (v)} eine K-Basis von Vf ist. Bestimmen Sie
die Darstellungsmatrix Mf (B, B) und geben Sie das Minimalpoynom von f an.
Aufgabe P 22.
√
Sei R := {a + b 2; a, b ∈ Q}.
(a) Zeigen Sie, dass R ein Unterring von R ist.
√
(b) Zeigen Sie, dass die Abbildung ε√2 : Q[t] → R : p(t) 7→ p( 2) ein surjektiver Ringhomomorphismus ist.
(c) Zeigen Sie, dass der Kern von ε√2 das von t2 − 2 erzeugte Ideal I = (t2 − 2)Q[t]. Zeigen
Sie ausserdem, dass I ein maximales Ideal ist. Warum folgt daraus, dass R ein Körper
ist?
Aufgabe P 23.
Gegeben sei die Matrix


−1 −1 1
2 −1 .
A= 2
−2 −1 0
Sei f : R3 → R3 : v 7→ Av die R-lineare Abbildung, die durch diese Matrix beschrieben wird.
Schreiben Sie Vf (= R3 ) als direkte Summe p-primärer Komponenten. Zeigen Sie, dass Vf
zyklisch ist und bestimmen Sie einen Erzeuger.
7. Übungsblatt
Einführung in die Geometrie und Algebra
Hausübungen (Abgabe in der nächsten Gruppenübung):
Aufgabe H 12. nochmal irreduzible Polynome in R[t] (4 Punkte)
Zeigen Sie, dass die irreduziblen Polynome in R[t] vom Grad 1 oder 2 sind, wobei die irreduziblen
Polynome vom Grad 1 von der Form t − λ, λ ∈ R und die irreduziblen Polynome vom Grad 2
von der Form t2 − 2at + a2 + b2 , a, b ∈ R sind.
Hinweis: Zeigen Sie zuerst: Wenn x = a + ib ∈ C eine Nullstelle eines reellen Polynoms p ist, ist
auch x = a − ib eine Nullstelle von p. Betrachten Sie dazu p(x) und verwenden Sie x · y = x · y,
x + y = x + y für komplexe Zahlen x, y. Beachten Sie auch Aufgabe P20.
Aufgabe H 13. (5 Punkte)
Sei R ein Hauptidealring und M ein endlich erzeugter R-Torsionsmodul.
(a) Angenommen, M ist Torsionsmodul der Ordnung pl (mit p prim). Dann ist M ∼
= M0 ⊕
0
R/(pl R) ⊕ R/(pl R) ⊕ . . . ⊕ R/(pl R) mit O(M 0 ) = pl , l0 < l. Sei m = (m0 , r1 , . . . , rk )
ein Element der Ordnung pl mit m0 ∈ M 0 , ri = ri + pl R. Zeigen Sie, dass es ein
1 ≤ i ≤ k gibt, sodass ri Ordnung pl hat. Zeigen Sie ausserdem, dass es einen RUntermodul U ≤ M gibt mit M =< m > ⊕ U .
(b) Sei die Ordnung O(M ) von M nun beliebig, und sei m ∈ M ein Element der Ordnung
O(M ). Zeigen Sie, dass es einen R-Untermodul U von M gibt mit M =< m > ⊕ U .
Überlegen Sie sich dazu, dass man M als direkte Summe zweier R-Untermoduln M1
und M2 schreiben kann mit ggT(O(M1 ), O(M2 )) = 1, falls die Ordnung von M keine
Primzahlpotenz wie in (a) ist. Nehmen Sie dann per Induktion an, dass die Behauptung
für M1 und M2 schon gilt.