Höhere Mathematik II Blatt V14 J. Hörner

Höhere Mathematik II
Blatt V14
J. Hörner
Die Aufgaben werden am Donnerstag, dem 21. 4. 2005 in den Vortragsübungen besprochen.
Aufgabe I811 V1 Bestimmen Sie für die Permutation
µ
¶
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
π=
15 5 6 10 13 12 14 1 3 4 7 9 11 2 8
die Zyklendarstellung und das Signum. Bestimmen Sie außerdem die Permutationen π 2 , π 3
und π 6 , sowie die minimale Anzahl n der Hintereinanderausführungen von π, die auf die
Identität führen, d.h. π n = id.
Aufgabe I812 Welche Permutationen der ersten acht natürlichen Zahlen lassen sich durch
Hintereinanderausführung der Grundoperationen
π1 = (2, 8)(4, 6) ,
π2 = (3, 8)(4, 7) ,
π3 = (5, 8)(6, 7)
erzeugen? Wieviele der Grundoperationen müssen maximal hintereinandergeschaltet werden
um jede mögliche Permutation zu erzeugen?
(Dies entspricht den möglichen Stellungen eines vereinfachten Zauberwürfels (Rubik’s Cube)
mit nur vier Segmenten je Seite, bei dem nur Halbdrehungen durchgeführt werden und der
Anzahl von Zügen, die zum idealen Lösen maximal benötigt werden.)
Aufgabe I813 Vervollständigen Sie die untenstehende Verknüpfungstabelle, so dass sie
einer Gruppenverknüpfung entspricht.
¦
u
v
w
x
y
z
u v w x y z
x
z y
v u
x
Aufgabe I814 Untersuchen Sie (Beweis oder Gegenbeispiel), ob die folgenden Mengen
reelle Vektorräume sind
a) gerade Polynome vom Grad ≤ n.
b) ungerade Polynome vom Grad ≤ n.
c) Polynome vom Grad ≤ n mit p(1) = p(2) = 0.
d) Polynome vom Grad ≤ n mit mindestens zwei (reellen) Nullstellen.
Aufgabe A520 Untersuchen Sie jeweils, ob U ein Unterraum des reellen Vektorraums V
ist.
a) V = Menge der reellen Zahlenfolgen
U = Menge der beschränkten reellen Zahlenfolgen
b) V = R2
U = {(x, y) ∈ R2 : x < y}
c) V = Menge der stetigen Funktionen f : R −→ R
U = {f ∈ V : f (1) = f (2)}
d) V = R4
Ua = {(x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ R4 : x21 + x22 = a} für a ∈ R
Hinweis zur Nummerierung: Angegeben sind die zugehörigen Nummern der Aufgaben (A)
bzw. interaktiven Aufgaben (I) in Mathematik-Online, die im Internet unter der Adresse
http://www.mathematik-online.org/aufgaben/
zu finden sind. Bei Aufgaben mit mehreren Varianten (V) ist zusätzlich die relevante Nummer angegeben.