technische universität münchen

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN
Zentrum Mathematik
D R . VANESSA K RUMMECK
Lineare Algebra I für das Lehramt an beruflichen Schulen (Wintersemester 2015/16)
— Aufgabenblatt 6 (30. November 2015) —
— Präsenzaufgaben —
Aufgabe 34. Darstellungsformen komplexer Zahlen.
Eine komplexe Zahl z ∈ C lässt sich darstellen in
• Normalform oder kartesischer Form:
• trigonometrischer Form:
• Exponentialform:
z = a + ib mit a, b ∈ R
z = r(cos ϕ + i sin ϕ) mit r, ϕ ∈ R
z = reiϕ mit r, ϕ ∈ R
Das Paar (a, b) beschreibt die kartesischen Koordinaten der komplexen Zahl z in der Gaußschen Zahlenebene R × iR. Das Paar (r, ϕ) gibt die komplexe Zahl z in Polarform an, wobei r ∈ R+
0 und ϕ aus einem
Intervall der Länge 2π gewählt werden können.
1.) Wie lassen sich kartesische Form und Polarform einer komplexen Zahl ineinander umrechnen ?
2.) Geben Sie folgende komplexe Zahlen in allen drei möglichen Darstellungsformen an:
p
√
√
2
a) 2ei 3 π
b) 3 + 4i
c) −( 5 + 1) − i 10 − 2 5
3.) Welche Vorteile haben die verschiedenen Darstellungen beim Rechnen mit komplexen Zahlen ?
Aufgabe 35. Polynomring.
Sei (R, +, ·) ein Ring und
R[x] :=
( n
X
)
ai xi n ∈ N , ai ∈ R
i=0
die Menge aller Polynome in x mit Koeffizienten aus R.
Den höchsten Exponenten eines Polynoms p mit nicht verschwindendem Koeffizienten nennt man grad(p).
Ist grad(p) = n und gilt für m ∈ N mit m > n, dass an+1 = · · · = am = 0, so identifiziert man
a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an xn + an+1 xn+1 + · · · + am xm ∧ an+1 = · · · = am = 0
mit
a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an xn .
Zeigen Sie, dass (R[x], +, ·) bezüglich der üblichen Addition und Multiplikation von Polynomen ein Ring
ist.
Hinweis: Der explizite Nachweis der Assoziativität der Multiplikation darf weggelassen werden.
Aufgabe 36. Nullstellenbestimmung.
Aus dem Fundamentalsatz der Algebra folgt: Jedes reelle Polynom p ∈ R[X] vom Grad deg(p) = n ≥ 1
besitzt mindestens eine Nullstelle ξ ∈ C (d.h. p(ξ) = 0). Nach Aufgabe 8.5 (Blatt 2) ist dann auch die zu
ξ konjugierte Zahl ξ Nullstelle von p (d.h. p(ξ) = 0).
1.) Folgern Sie daraus, dass jedes Polynom p ∈ R[X] mit ungeradem Grad mindestens eine reelle Nullstelle besitzt.
2.) Zeigen Sie, dass ξ = 2 dreifache Nullstelle der Polynome
f (x) := x5 − 8x4 + 21x3 − 14x2 − 20x + 24
und
g(x) := x5 − 8x4 + 27x3 − 50x2 + 52x − 24
ist. Bestimmen Sie auch die übrigen Nullstellen von f (x) und g(x).
— Hausaufgaben —
Aufgabe 37. Ring.
Gegeben sei die Menge
M :=
n a
o
a
∈
Z,
k
∈
N
⊂Q
2k
1.) Zeigen Sie, dass (M, +, ·) mit der üblichen Addition und Multiplikation (in Q) ein Ring ist.
2.) Ist (M, +, ·) auch ein Körper?
Aufgabe 38. Sehr komplex.
1.) Schreiben Sie die folgenden komplexen Zahlen in der Form z = a + ib mit a, b ∈ R:
2+i
a.)
3 + 4i
b.)
1+i
√
2
4
c.)
2.) Bestimmen Sie alle n ∈ N, für die gilt:
1+i
1−i
10
d.)
(2 − 2i)(1 + 3i) + (1 + i)(2 + 3i)
.
(3 + i)(1 − i) + (2 − i)(1 + 3i)
(1 + i)n + (1 − i)n = 0.
Aufgabe 39. Von R2 zu C.
Gegeben sei der R2 mit der komponentenweisen Addition
+ : R2 × R2 → R2 mit (a1 , b1 ) + (a2 , b2 ) := (a1 + a2 , b1 + b2 )
und folgender „Multiplikation“
? : R2 × R2 → R2 mit (a, b) ? (c, d) := (ac − bd, ad + bc).
Zeigen Sie, dass (R2 , +, ?) ein Körper ist.
Abgabe der Hausaufgaben: am Freitag, dem 11.12.2015.