1. Übung zur Mathematik

1. Übung zur Mathematik
Aufgabe 1 (Ein Steilkurs durch die komplexen Zahlen):
i) Die komplexen Zahlen als “abstrakter Datentyp”:
Wir können die komplexen Zahlen als eine abstrakte Ereiterung der reellen Zahlen auffassen, bei der die Erweiterung darin besteht, eine neue Zahl i einzuführen
mit i2 = −1. Alle bisherigen Eigenschaften (Kommutativgesetze, Assoziativgesetze,
Distributivgesetze, Neutralität der 1 und der 0) mögen unverändert weiter gelten.
Zeigen Sie hiermit, dass jede komplexe Zahl sich auf die Form a + ib bringen lässt,
dass also jede Operation als Ergebnis wieder eine Zahl von dieser Form liefert.
ii) In der Vorlesung hatten wir erfahren, dass die Multiplikation zweier komplexer Zahlen geometrisch interpretiert werden kann als Multiplikation der Längen bei
gleichzeitiger Addition der Winkel. Zeigen Sie, dass diese Interpretation verträglich
ist mit der Darstellung der Multiplikation in kartesischer Koordinatenform.
Hinweis: Benutzen Sie die Formeln zur Umrechnung von Polar- in kartesische Koordinaten und die bekannten Additionstheoreme der trigonometrischen Funktionen.
iii) Rechnen Sie nach, dass bei der Darstellung der komplexen Zahlen in Matrixform
die bekannten Matrixoperationen dieselben Ergebnisse liefern, wie die Operationen
der komplexen Zahlen in Standardform (siehe i))
iv) Geben Sie den Matrizen, die komplexe Zahlen repräsentieren, in ihrer Rolle
als lineare Abbildungen (i.S. der linearen Algebra) eine geometrische Bedeutung.
Aufgabe 2:
Recherchieren sie das Newton-Verfahren zur näherungsweisen Bestimmung von Nullstellen (von Polynomen) und implementieren Sie es in Java.
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