Komplexe Zahlen Leyna Sadamori, Björn Richerzhagen

Leyna Sadamori, Björn Richerzhagen
Komplexe Zahlen
Darstellungsformen der komplexen Zahl z:
• kartesische Darstellung:
z = a + ib
Im{z}
z =Re{z} + iIm{z}
• trigonometrische Darstellung:
z = |z| (cos ϕ + i sin ϕ)
|z|
b
ϕ
• eulersche Darstellung:
z = |z| · eiϕ
a
Re{z}
mit
a = Re{z} = |z| · cos ϕ
b = Im{z} = |z| · sin ϕ

b

arctan a
ϕ = arg(z) = arctan ab + π


arctan ab − π
f ür a > 0, b beliebig
f ür a < 0, b ≥ 0
f ür a < 0, b < 0
j · j = −1
p
|z| = a2 + b2
ϕ=
(
a
arccos |z|
− arccos
f ür b ≥ 0
a
|z|
f ür b < 0
Rechenregeln im Umgang mit komplexen Zahlen:
Das konjugiert Komplexe z ∗ einer Zahl z = a + ib ist z ∗ := a − ib (Spiegelung an der reelen Achse),
in eulerscher Darstellung z = |z|eiϕ ändert sich das Vorzeichen im Exponenten: z ∗ = |z|e−iϕ . Es
gilt |z|2 = z · z ∗ .
Addition und Subtraktion in kartesischer Darstellung
z1 + z2 = (Re{z1 } + Re{z2 }) + i (Im{z1 } + Im{z2 })
z1 − z2 = (Re{z1 } − Re{z2 }) + i (Im{z1 } − Im{z2 })
Multiplikation und Division in eulerscher Darstellung (einfacher)
z1 · z2 = |z1 |eiϕ1 · |z2 |eiϕ2 = |z1 | · |z2 | · ei(ϕ1 +ϕ2 )
z1
|z1 | i(ϕ1 −ϕ2 )
=
·e
z2
|z2 |
Multiplikation und Division in kartesischer Darstellung (lästiger)
z1 · z2 = (Re{z1 } · Re{z2 } − Im{z1 } · Im{z2 }) + i (Re{z1 } · Im{z2 } − Re{z2 } · Im{z1 })
z1
z1 · z2∗
z1 · z2∗
Re{z1 }Re{z2 } + Im{z1 }Im{z2 }
Re{z2 }Im{z1 } − Re{z1 }Im{z2 }
=
=
=
+i
∗
2
2
z2
z2 · z2
|z2 |
|z2 |
|z2 |2
Komplexe Wurzeln:
Gegeben sei die komplexe Zahl p und gesucht sei z, so dass gilt: z n = p
Die n Lösungen (z0 , z1 , ..., zn−1 ) für z ergeben sich nun nach folgender Formel:
p
i
n
(ϕ + k2π)
mit k ∈ [0, 1, ..., n − 1]
zk = |z| · exp
n
Wie man sieht, werden die n Wurzeln auf 2π normiert, so dass sie ein regelmäßiges n-Eck um den
Ursprung der p
komplexen Zahlenebene bilden. Der Abstand der Eckpunkte zum Ursprung beträgt
dabei gerade n |z|.
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