Mathematik I für MB und ME

Fachbereich Grundlagenwissenschaften
Prof. Dr. Viola Weiß
Wintersemester 2009/2010
Fachhochschule Jena
University of Applied Sciences Jena
Mathematik I für MB und ME
Übungsaufgaben
Serie 2: Komplexe Zahlen
1. Bestimmen Sie die kartesische Darstellung für z ∈ C mit
π
a) z = 8ei 4 ,
3π
b) z = 8ei 4 ,
c) z = e1−iπ .
Stellen Sie die Zahlen graphisch dar in der Gaußschen Zahlenebene.
2. Stellen Sie folgende Zahlen in der Gaußschen Zahlenebene dar und bestimmen Sie ihre
exponentielle Darstellung:
√
a) z1 = 1 + i , z2 = −1 + i , z3 = 1 − i , z4 = −1 − i , b) z = 4 3 − 4i , c) z = 2i .
3. Berechnen Sie jeweils Betrag und Argument für folgende komplexen Zahlen:
a) z = −2i + 2
b) z = −5i
c) z = −3
√
d) z = 0.5 − 0.5 3i .
4. Berechnen Sie z1 + z2 , z1 − z2 , z1 · z2 , z1 : z2 und z2 : z1 für z1 , z2 ∈ C mit
a) z1 = 2 − 5i z2 = 1 + 4i ,
b) z1 = 4 z2 = −3i ,
c) z1 = i z2 = 1 + 2i .
5. Ermitteln Sie z + z und z · z für z ∈ C.
6. Von folgenden komplexen Zahlen bestimme man den Real– und den Imaginärteil:
a) z =
2
1−i
b) z =
d) z = 2 − 4i + |i|
1 + 4i
3−i
c) z =
e) z =
2(1 − i)
(1 + i)(−1 + i)
2 + |3 − 4i| − i
.
2+i
7. Gegeben seien die komplexen Zahlen z1 = 2 − 4i und z2 = −1 − 3i.
a) Berechnen Sie z1 · z2 und z1 /z2 in kartesischer Form.
b) Wandeln Sie z1 und z2 um in die trigonometrische Darstellungsform und führen Sie
dann Multiplikation und Division der beiden Zahlen durch. Vergleichen Sie die Ergebnisse
mit denen aus a)!
8. Es seien z1 = 4, z2 = −i und z3 = 2 + 3i. Berechnen Sie
a) z1 (z2 − z3 ) + z2 ,
b) z1 + z2 + z3 ,
c)
z1 · z2
.
z3
9. Geben Sie z ∈ C in kartesischer und exponentieller Darstellung an:
√
3−i
√ .
a) z = (1 + i)3
b) z =
1 + 3i
10. Skizzieren Sie die Menge der Punkte in der Gaußschen Zahlenebene, für die gilt
a) |z| < 3 ,
b) z · z = 4 ,
c) z + z = −6 ,
d)
z
= 1,
z
e) |z − 3 + i| ≤ 2 ?
11. Lösen Sie die folgenden Gleichungen für z ∈ C:
a) z 2 + (4 − 3i)z − 2(3i − 1) = 0 ,
b) z 2 − (
i√
2)z + 1 = 0 .
2
12. Es seien die komplexen Zahlen z1 = −4 + ki, z2 = 1 + 2i und z3 = −4 + 3i gegeben.
z1 · z2
Für welches k ∈ R ist z =
reell, für welches k ∈ R ist z rein imaginär, d.h.
z3
Re(z) = 0 ?
√
13. Berechnen Sie für z = −1 + 3i die Potenz z 6
a) auf direktem Weg oder mit Hilfe der binomischen Formel,
b) mit Hilfe der trigonometrischen Darstellung von z
und vergleichen Sie die Resultate!
14. Man stelle folgende komplexen Zahlen in trigonometrischer und in kartesischer Form dar:
√
π 9
a) z = (−1 + i)8
b) z = 2 · ei 3
c) z = (1.5 + 1.5 3i)6 .
15. Berechnen Sie z 20 für die komplexe Zahl z = a − ai mit a > 0.
16. Von den folgenden
an und stelle diese
a) z = −64 (n
d) z = −10 + 5i
komplexen Zahlen gebe man alle n–ten Wurzeln in kartesischer Form
jeweils in der Gaußschen Zahlenebene dar:
= 6)
b) z = 9i (n = 2)
c) z = 2 − 2i (n = 3)
(n = 5) .
17. Lösen Sie die folgenden Gleichungen:
a) z 2 (3 − i) = 2z
b) z 3 − z 2 + 16z − 16 = 0
d) z 2 − z + iz − i = 0 e)
z 2 + (1 + i)z − 2(1 − i) = 0
c) |z| = z · z
f)
z 5 − 5 − 8i = 0 .
18. Beweisen Sie folgende Rechenregeln für z1 , z2 ∈ C :
b) z1 · z2 = z1 · z2 .
a) z1 + z2 = z1 + z2
19. Wir betrachten das Polynom P (z) = z 3 − z 2 + z − 1 .
(a) Zeigen Sie unter Verwendung der Rechenregeln für konjugiert komplexe Zahlen aus
Aufgabe 18, daß folgende Beziehung gilt: P (z) = P (z)
(b) Es sei z0 eine Nullstelle des Polynoms, d.h. P (z0 ) = 0. Was kann man dann über z0
aussagen?
Schriftliche Aufgaben:
1. Abgabe in den Übungen der 5. Semesterwoche:
√ 9
(a) Geben Sie die komplexe Zahl z = 2 ei 4 π in kartesischer Darstellung an.
Geben Sie die komplexe Zahl z = a − ai, a > 0, in exponentieller Darstellung an.
(b) Bestimmen Sie jeweils den Real- und den Imaginärteil folgender komplexer Zahlen:
√
|2 + 5i| + 3i
(2 + 3i)(2 − 3i)
.
z1 =
z2 =
4 − i + |i|
2i
2. Abgabe in den Übungen der 6. Semesterwoche:
(a) Lösen Sie die folgenden beiden Gleichungen:
z 2 + 2z − iz − i + 3 = 0
z 2 − (3 + i)z + 72 i + 2 = 0 .
√
(b) Für welches a ∈ R gilt ( 3a + ai)6 = −1 ?